体育比赛中的逻辑推理问题

第三讲 逻辑综合

体育比赛中的逻辑推理知识点简析

21.n支队伍的单循环比赛将进行m?Cn?n(n?1)2场比赛，其中每支队都进行(n?1)场；

2.体育比赛中的总分（记为A）问题

胜、平、负按3、1、0积分制度，其中2m?A?3m，每出现一场平局，总分就会减少1分； 胜、平、负按2、1、0积分制度，其中A?2m，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的． 3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数

例2

（2003年《小学生数学报》数学邀请赛）

在一次“25分制”的女子排球比赛中，中国队以3:0战胜俄罗斯队．中国队3局的总分为77分，俄罗斯队3局的总分为68分，且每一局的比分差不超过4分．则3局的比分分别是____:____、____:____、____:____．(不考虑这3局比分之间的顺序)

【分析】 在25分制的比赛中，如果一个队得到25分而另一个队的得分少于24分，则得25分的队获

胜；如果一个队得到25分时另一个队得了24分，此时双方还要继续进行比赛，直到双方得分的差变成2分，得分多的那支队才获胜． 本题中，由于77?25?3?2，所以中国队三场比赛的得分可能为26分，26分，25分或27分，25分，25分．

如果是26分，26分，25分，有两场超过了25分，说明俄罗斯有两场得分是26?2?24分，另一场的得分是68?24?24?20分，则有一局的比分为25:20，比分差大于4分，不满足条件．

从而中国队三场的得分分别为27分，25分，25分，俄罗斯有一场得分为27?2?25分，另两场得分和为68?25?43分，又另两场每场得分均不少于25?4?21分，则另两场的得分应分别为21分和22分．

因此3局的比分分别是27:25，25:21，25:22． 点睛：排球比赛分差在两分以上才能分出胜负的

提高班学案2

乒乓球是中国的国球，是“三大国粹”之一.在一次乒乓球国际赛事中，中国著名选手马琳以4:0横扫德国著名选手波尔.乒乓球比赛为11分制，即每局11分，7局4胜制，打成10:10后必须净胜而且只能净胜2分.经计算，马琳四局的总得分为47分，波尔总得分为37分，且每一局比赛分差不超过三分，则一共有______种情况.（不考虑这四局比分之间的顺序）

【分析】有三种情况，一：马琳有三局超过11分，则只能12:10、12:10、12:10、11：7，与不超过3分矛盾；二：马琳有两局超过11分，则只能是11: 8、11:8、12:10、13：11，成立；三：只有一局超过11分，则只能是11：8、11：8、11：9、14:12

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例3

（2009年“学而思杯”六年级一试）

6支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得1分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现共有4场平局，且其中5支球队共得了31分，则第6支球队得了 分． 【分析】 每场平局两队共得2分，如果分出胜负则两队共得3分．6支球队共要比C62?15场比赛，其中有4场平局，所以有15?4?11场分出了胜负，那么6支球队总得分为2?4?3?11?41分，

由于有5支球队共得了31分，所以第6支球队得了41?31?10分．

点睛：体育比赛中，总的得分原来是能确定的呀

基础班学案2：6支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得1分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现6支球队共得41，那么共有 场平局． 【分析】 每场平局两队共得2分，如果分出胜负则两队共得3分．6支球队共要比C62?15场比赛，假

设没有平局的话，6支球队应得15?3?45分，将一场有胜负的比赛换成平局比赛总分会少1分，所以有4场平局

提高班学案3：（小学数学奥林匹克决赛）

一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分．结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分.那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？

2由题意可知，这次比赛共需比C10?45(盘)．

因为每盘比赛双方得分的和都是1分(1?0?1或0.5?2?1)，所以10名选手的总得分为

1?45?45(分)．每个队的得分不是整数，就是整数加上0.5这样的小数．

由于乙队选手平均得3.6分，3.6的整数倍不可能是整数加上0.5这样的小数． 所以，乙队的总得分是整数，可能为18或36． 但36?3.6?10，而三个队一共才10名选手，所以乙队的总分是18分，有选手18?3.6?5(名)． 甲、丙两队共有5名选手，两队共得45?18?27分．

因每人最多全胜得9分，因此得9份仅能有1人，所以丙队1人，甲队4人；

尖子班学案2：（2003年迎春杯）

世界杯足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各赛一场，胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分．每个小组总分最多的两支球队出线．如果在第一小组比赛中出现了一场平局，问：在第一小组中一支球队至少得多少分，一定能够出线？

【分析】 考察两支队之间进行比赛所获得的分数，如果产生胜负关系，那么两队总得分为3分，如果

平局，则总得分为2分．

四支队伍相互间进行了6场比赛，如果不出现平局，应当得分总和为18分，但是出现了一场平局，因此总得分为18?1?17分．

如果得分超过1/3，则必出现，所以6份能保证出线.很容易说明得6分一定出线，因为如果存在另外两支队伍出线，那么他们的得分应不小于6分，因此总得分将不小于18分，矛盾． 另外，如果得分不到6分，那么这支球队最多只能得4分（因为得5分意味着两场平局，题目中告诉我们只有一场平局），这时候其他三支球队总得分为13分，如果分别为6分，6分，1分，那么4分的球队就不能出线了．

例4

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5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分．最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得 分．

【分析】 每支队伍都打过四场比赛，显然，根据比赛规则，得1分的队伍只能是1平3负，得2分的

队伍只能是2平2负，得5分的队伍只能是1胜2平1负，得7分的队伍只能是2胜1平1负，不难得到下表： 队 得 胜 负 平 别 分 1 1 0 3 1 2 2 0 2 2 3 5 1 1 2 4 7 2 1 1 合计 3 7 6

从表中可以看出，这四个队共负了7场，胜了3队，由于每场比赛如果分出胜负那么就有一方负而另一方胜，所以5个队胜和负的总场次应该相等，所以第5队应该胜了4场，那么第5队得了12分．

点睛：体育比赛一个小组内胜的总场数原来等于负的总场数呀

基础班学案3：1994年“世界杯”足球赛中，巴西、瑞典、俄罗斯、喀麦隆4支队分在同一小组．在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知：

⑴这4支队三场比赛的总得分为1、3、5、7； ⑵巴西队总得分排在第一； ⑶瑞典队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与喀麦隆队踢平的． 根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是 队．

【分析】 4支队伍的得分分别为1分，3分，5分，7分．它们的总得分为16分，比18分少了2分，

说明全部比赛中有2场平局，（总的平的场数为4场）其他场次都分出了胜负．根据上述分析，列表如下

队名 总分 胜 平 负 7 2 1 0 巴西 5 1 2 0 瑞典 1 0 2 俄罗斯 3 0 1 2 喀麦隆 1

根据题意可知巴西得了7分，由于“喀麦隆队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与喀麦隆队踢平的”瑞典得5分，喀麦隆得1分，因此巴西得3分，所以总得分排在第四的是喀麦隆队．

提高班学案4：（2006年浙江省小学数学活动课夏令营）

足球世界杯小组赛的每个小组有四个队参加单循环（每两个队之间都踢一场）比赛，每组的前两名可以出线.其积分方法为：每胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．当两个组的积分相同时，以净胜球数（总进球数减去总失球数的差）的多少来定名次，净胜球多的队排名靠前.已知某队以最低的积分出线了，那么这个队在小组赛中的积分是 分．

【分析】 以最低积分出线，肯定是小组第二名．

首先说明得1分的队肯定不能出线．得1分的队2负1平，胜它的2个队至少各得3分，所以得1分的队不可能出线．

然后说明，得2分可能出线．假设小组中的四个队为甲、乙、丙、丁，甲队第一，乙队第二，甲队分别与乙、丙、丁的比赛都赢，而乙、丙、丁三队之间都是平局，则甲队得9分，乙、丙、丁三队各得2分，而这三个队中净胜球多的队即为出线的队．

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尖子班学案3：（1997年“我爱数学”夏令营）

，胜一场得3分，平一场得1分，A、B、C、D四个队举行足球循环赛（即每两个队都要赛一场）

负一场得0分．已知：⑴比赛结束后四个队的得分都是奇数；⑵A队总分第一；⑶B队恰有两场平局，并且其中一场是与C队平局．那么，D队得 分． 【分析】 由于B队得分为奇数，而平两局得2分，所以另外一场是胜局，即B队两平一胜，得分为5

分；A队得分比B队高，至少得7分，又A队不能全胜（否则A队胜B队，B队应该负一场），所以A队恰得7分，即A队两胜一平，平的那一场是与B队的比赛(因为A、B都没有输过)，胜了C、D两队；B队则胜了D队；

因为C队平B队、负A队，得分又是奇数，所以C队得1分，负给了D队． 故D队胜C队，负A、B两队，所以D队得3分．

列表如下：

队名 总分 胜 平 负 7 2 1 0 A 5 1 2 0 B 1 0 1 2 C 3 1 0 2 D

1. 甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，就是每两个队之间都要比一场，胜者得3分，负者得

0分，平者各得1分．比赛结束后，甲队共得6分，乙队共得4分，丙队共得2分，那么丁队共得 分． 【分析】 根据题意列表如下

胜 平 负 2 0 1 甲 1 1 1 乙 0 2 1 丙 总场数 3 3 3 根据胜的总场数等于负的总场数，平的总场数是偶数，所以丁可能是3场平局或1胜1平1负，由于甲没有平局，所以丁只能是1胜1平1负，得4分

2. （2009年小学数学奥林匹克预赛）

6人参加乒乓球赛，每两人都要比赛一场．胜者得2分，负者得0分，比赛结果有两人并列第2名，两人并列第5名．那么，第4名得 分． 【分析】 由于第五名并列，故第五名至少各得2分．又由于第二名并列，故第二名不能各得8分，否

则，这两人中至少有1人要胜第1名，第1名的分数将不高于8分，不符合题意，所以两个第二名至多各得6分．由此可得，第四名得4分．

3. n名棋手进行单循环赛，即任两名棋手间都要赛一场.胜利者得2分，平局各得1分，负者得0分.

比赛完成后，前4名依次得8、7、5、4分，则n=______. 【分析】 根据两分制的比赛规则，无论是胜负或者是平局，两队的总分和均为2分.

由于前4名，所以至少有4个人进行比赛，由于8+7+5+4=24分，显然

同理5场比赛总分和为20分，不合； 6场比赛总分为

C4?2?122不满足，

C6?2?30C7?2?4222分，另外，两支队得分为6分，满足；

7场比赛总分为分，另外三支队共得分为18分，第5名至少得6分；8场及以上比赛之后的第5名的得分均会高于4，不符合. 所以共进行了6场比赛.

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4. 如图是一个6×6的方格表，将数字1~6填入空白方格中，使得每一行、每

一列数字1~6都只恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了6块区域，每个区域数字1~6也恰好都只出现一次，那么最下面的一行6个数字组成的6位数是______． 【分析】 （1）因为出现3个5，所以先找5，a处必填5，b填5,c填5.

（2）右下角连着的区域下有1个6，所以d填6，e填6,f填4,g填4,h填4，B填4.

（3）i填1，j填1，k填1，C填1,D填3,A填2

∴ABCD?2413.

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