2020年上海市青浦区高三二模数学试卷
（精校Word版含答案）
（时间120分钟，满分150分） Q2020.05
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．已知全集U?R，集合A?(??,2)，则集合eUA?__________． 2．已知i为虚数单位，复数z?2?i的共轭复数z?__________． 3．已知函数f?x??1?1?1，则方程f?x??2的解x?__________． x4．若(ax?1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是__________．
x2y25．双曲线??1的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．
446．用一平面去截球所得截面的面积为3πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积是__________cm2．
11x?2y?1x,y?07．已知且，则?的最小值为__________．
xy8．已知平面向量a，b满足a?(1,?1)，|b|?1，|a?2b|?9．设a??1,3,5?，b??2,4,6?，则函数f(x)?logbarrruurrrrr 2，则a与b的夹角为_________．
1是减函数的概率为_________． x10．已知函数f(x)? 若存在实数x0满足f[f(x0)]?x0，则实数a的取值范围是_______．x?a，
11．已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线x2?y上，其中一条边所在直线的斜率为2，则△ABC的三个顶点的横坐标之和为__________．
12．定义函数f(x)?x?x?，其中{x}表示不小于x的最小整数，如?1.4??2，??2.3???2，
当x?(0,n]n?N????函数f(x)的值域为A，记集合A中元素的个数为a?时，
nnn ，则an?_______．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
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纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．已知a,b?R，则“b?0”是“a2?b?0”的………………………………………（ ）．
（A）充分不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为………………………………………………………………………………………… （ ）．
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 x2ny215．记椭圆??1围成的区域（含边界）为?n(n?1,2,L)，当点(x,y)分别在
44n?1L上时，L，则limMn?………………………（ ）． x?y的最大值分别是M1，?2，M2，?1，
n??（A）2?5
（B）4
（C）3
（D）22 16．已知函数f(x)?sinx?2sinx，关于x的方程f2(x)?af(x)?1?0有以下结论： ①当a?0时，方程f2(x)?af(x)?1?0在0,2π内最多有3个不等实根； ②当0?a???64时，方程f2(x)?af(x)?1?0在?0,2π?内有两个不等实根； 9③若方程f2(x)?af(x)?1?0在0,6?内根的个数为偶数，则所有根之和为15π． ④若方程f2(x)?af(x)?1?0在0,6?内根的个数为偶数，则所有根之和为36π． 其中所有正确结论的序号是………………………………………………………………（ ）．
（A）②④
（B）①④
（C）①③
（D）①②③
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，?B1AB?60?． （1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的大小； （2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
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????18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数f(x)?[2sin(x?)?sinx]cosx?3sinx．
（1）若函数y?f(x)的图像关于直线x?a(a?0)对称，求a的最小值；
π32（2）若存在x0?[0,
5π]，使mf(x0)?2?0成立，求实数m的取值范围． 12
19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2?t?20，t?N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10?t?20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当
2?t?10时，载客量会减少，减少的人数与(10?t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时
载客量为560人，记地铁载客量为p(t)．
（1）求p(t)的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为Q?6p(t)?3360?360（元），问当发车时间间隔为
t多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
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分6分.
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1，F2，其长轴长是短轴长的2
ab倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有
11?PFPFkk且只有一个公共点，设直线1，2的斜率分别为1，2，若k?0，证明为定值，kk1kk2并求出这个定值；
（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设?F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点
M?m,0?，求m的取值范围．
21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于无穷数列?an?、?bn?，n?N*，若bk?max?a1,a2,L,ak??min?a1,a2,L,ak?，
min?a1,a2,L,ak?则称数列?bn?是数列?an?的“收缩数列”．其中max?a1,a2,L,ak?、k?N*，
分别表示a1,a2,L,ak中的最大项和最小项．已知数列?an?的前n项和为Sn，数列?bn?是数列． ?an?的“收缩数列”
（1）若an?3n?1，求数列?bn?的前n项和； （2）证明：数列?bn?的“收缩数列”仍是?bn?； （3）若S1?S2?L?Sn?数列?an?．
n?n?1?n?n?1?a1?bn?n?1,2,3,L?，求所有满足该条件的 22
说明：
数学参考答案及评分标准 2020.05
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