域，磁感应强度大小均为，方向分别垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与、共线的点为原点，向上为正方向建立轴。板左侧电子枪发射出的热电子经小孔进入两板间，电子的质量为，电荷量为，初速度可以忽略。
⑴当两板间电势差为时，求从小孔射出的电子的速度。
⑵求两金属板间电势差在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上。
⑶若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨迹。 ⑷求电子打到荧光屏上的位置坐标和金属板间电势差的函数关系。
带电粒子在磁场中在同一点向各个方向射出的问题
【例】如图，在一水平放置的平板的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为，磁场方向垂直于纸面向里，许多质量为、带电荷量为的粒子，以相同的速率沿位于纸面内的各个方向由小孔射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响，图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中
mv，哪个图是正确的是（ ） Bq
【例】如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小 ，磁场内有一块平面感光板，板面与磁场方向平行，在距的距离l?16cm处，有一个点状的?放射源，它
6向各个方向发射?粒子，?粒子的速度都是v?3.0?10m/s，已知?粒子的电荷与质量之比
被?粒子打中的区域的长度。 ·
洛伦兹力的多解问题
（）带电粒子电性不确定形式多解。
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。
（）磁场方向不确定形成多解。
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。
（）临界状态不唯一形成多解。
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解。
（）运动的重复性形成多解。
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。
【例】 初速为零的离子经过电势差为的电场加速后，从离子枪中水平射出，经过一段路程后进入水平
q?5.0?107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的?粒子，求上m放置的两平行金属板和之间。离子所经空间存在一磁感强度为的匀强磁场，如图所示。（不考虑重力作用）离子荷质比
q（、分别为离子的电量与质量）在什么范围内，离子才能打在金属板上？ m
练习
、一个负离子，质量为，电量大小为，以速率垂直于屏经过小孔射入存在着匀强磁场的真空室中(如图).磁感应强度的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图中纸面向里.
()求离子进入磁场后到达屏上时的位置与点的距离.
()如果离子进入磁场后经过时间到达位置,
θ qB证明:直线与离子入射方向之间的夹角θ跟的关系是??t。
2m
图
、如图所示，一束电子(电量为)以速度垂直射入磁感强度为，宽度为的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是°，则电子的质量是，穿透磁场的时间是( )。
、圆心为、半径为的圆形区域中有一个磁感强度为、方向为垂直于纸面向里的匀强磁 场，与区域边缘的最短距离为的＇处有一竖直放置的荧屏，今有一质量为的电子以速率从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之点，如图所
示，求＇的长度和电子通过磁场所用的时间。 图
,
图 、长为的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示， 磁感强度为，板间距离也为，板不带电，现有质量为，电量为的带正电粒子(不
计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：
图
．使粒子的速度<4m； ．使粒子的速度>4m； ．使粒子的速度>；
．使粒子速度4m<<4m。
、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为0.5m，外半径.0m，磁场的磁感强度，若被束缚带电粒子的荷质比为×10㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算
（）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 （）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝、、和，外筒的外半径为，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝的点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点，则两电极之间的电压应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）
、如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为、方向水平向右，电场宽度为；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为，方 向垂直纸面向里。一个质量为、电量为、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到点，然后重复上述运动过程。求：
（1） 中间磁场区域的宽度;
（2） 带电粒子从点开始运动到第一次回到点所用时间. 参考答案
7图
图
图
【例】解析：（）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。
如图所示，粒子由点射入，由点飞出，其速度方向改变了°，则粒子轨迹半径为 ①
v2又② R则粒子的比荷
qv?③ mBr（）粒子从点飞出磁场速度方向改变了°， 粒子做圆周运动的半径′°＝3④ 又′
mv⑤ qB?3 31612?m3?r?
6qB?3v所以′
粒子在磁场中飞行时间T??说明：解答有关带电粒子在磁场中运动的问题时，关键是要作好粒子在磁场中运动的轨迹，作出它的几何
图示，从而通过圆周的有关知识去解决问题。其主要步骤有：①画出粒子的偏转圆弧；②确定粒子圆周运动的圆心；③适当作辅助线，建立几何关系。
v2【例】解析：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为，则①
r据此并由题意可知，粒子在磁场中的轨迹的圆心必在轴上，且点在磁场区之外，过点沿速度方向作延长线，它与轴相交于点，作圆弧过点与轴相切，并且与相切，切点即粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心，如图所示。
由图中几何关系得②
3mv由①②求得
qL3图中的长度即圆形磁场区的半径，由图中几何关系可得L
3
Ⅰ o o Ⅱ
说明：本题不仅考查了对带电粒子在匀强磁场中运动规律掌握的熟练程度，而且考
查了空间想象能力和用数学方法解决物理问题的能力。
【例】解析：设粒子的入射速度为，已知粒子带正电，故他在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从射出，如图所示。用、、、、、分别表示在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度、轨道
v2v2半径和周期，qvB1?mqvB2?m
R1R22?R12?m2?R22?mT1??T2??
vqB1vqB2设圆形区域的半径为，已知带电粒子过圆心且垂直于2A进入Ⅱ区磁场。连接1A，?A1OA2为等边三角形，为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其轨迹的半径R1?A1A2?OA2?r 圆心角?A1A2O?60，带电粒子在Ⅰ区中运动的时间为t1?带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在的中点,即R2?粒子在磁场Ⅱ中运动的时间为t2?01T1 61r 21T2 25?m5?m,B2? 6qt3qt带电粒子运动的总时间为t?t1?t2有以上各式可得B1?C???v1ER??1???Ao1Dv2B【例】解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R，由Bqv?m 得
R图
mv6.64?10?27?3.2?106R??m?0.20m?20cm
Bq0.332?3.2?10?19虽然?粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此?粒子作圆周运动的圆心必落在以为圆心，半径R?20cm的圆周上，如图２中虚线．
yo?由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径R一定的条件下，为使?粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨
s道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即?粒
o?Ax子应从磁场圆直径的端射出．
?r1如图２，作出磁偏转角?及对应轨道圆心O?，据几何关系得sin??，图 2R200得??60，即?粒子穿过磁场空间的最大偏转角为60．
【例】解析：如图４，设粒子以速率v1运动时，粒子正好打在左极板边缘（图４中轨迹１），则其圆轨迹半径
vdBqd为R1?，又由Bqv1?m1得v1?，则粒子入射速率小于v1时可不打在板上．
44mR1设粒子以速率v2运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），由图
o22?24L?dd222可得R2?L?(R2?)，则其圆轨迹半径为R2?，又由
4d2R22v2Bq(4L2?d2)得v2?，则粒子入射速率大于v2时可不打在板上． Bq2v?m4mdR2v2Lv1Bqd综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：v?或o1??1????4m2d????22Bq(4L?d)v?．
4md图４
【例】解析：如图６所示，设粒子速率为v1时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点．
由图知，在?AO1E中，O1E?R1，O1A?23a?R1，由cos300?O1EO1A得
R13?，解得23a?R1R1?3(2?3)a，则AE?O1A3a?R1??(23?3)a． 222BqR13(2?3)aqBv1?又由Bqv1?m得v1?，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于v1． mmR1如图７所示，设粒子速率为v2时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交
3a．
2于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则R2?AD?AG?v3aqB又由Bqv2?m2得v2?，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于
mR2A?等于v2． o2综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足粒子从距Ａ点(23?3)a~G??C??R2??Fv2?3(2?3)aqB?v?m3aqB． m图 DB3a的EG间射出．
【例】解析：（１）设氦核质量为m，电量为q，以速率v在磁感强度为B的匀强磁场
v2中做半径为r的匀速圆周运动，由洛仑兹力公式和牛顿定律得Bqv?m，则
R图
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