1 2 3 4 5 6 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由上表可知，一共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果． ∴P（小亮胜）=，P（小丽胜）==， ∴游戏是公平的． 点评： （1）此题主要考查了判断游戏公平性问题，要熟练掌握，首先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）此题主要考查了列举法（树形图法）求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 24．（8分）（2015?陕西）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E． （1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．
考点： 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）根据切线的性质，和等角的余角相等证明即可； （2）根据勾股定理和相似三角形进行解答即可． 解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE， ∴∠ABE=90°， ∴∠BAE+∠E=90°， ∵∠DAE=90°， ∴∠BAD+∠BAE=90°， ∴∠BAD=∠E； （2）解：连接BC，如图： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=8，AB=2×5=10， 第13页（共17页）
∴BC=， ∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E， ∴△ABC∽△EAB， ∴∴∴BE=， ， ． 点评： 本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点，关键是根据切线的性质和相似三角形的性质分析． 25．（10分）（2015?陕西）在平面直角坐标系中，抛物线y=x+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）求点A，B，C的坐标；
2
（2）求抛物线y=x+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）令y=0，求出x的值；令x=0，求出y，即可解答； （2）先求出A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），再代入解析式，即可解答； （3）取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，由此判定四边形AMA′M′为平行四边形，又知AA′与MM′不垂直，从而平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点2
D，求出抛物线的顶点坐标M，根据2，即可解答． 解答： 解：（1）令y=0，得x+5x+4=0， ∴x1=﹣4，x2=﹣1， 令x=0，得y=4， ∴A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，4）． （2）∵A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4）， ∴所求抛物线的函数表达式为y=ax+bx﹣4， 将（4，0），（1，0）代入上式，得 2解得：2， ∴y=﹣x+5x﹣4． （3）如图，取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′， 由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′， 第14页（共17页）
∴四边形AMA′M′为平行四边形， 又知AA′与MM′不垂直， ∴平行四边形AMA′M′不是菱形， 过点M作MD⊥x轴于点D， ∵y=∴M（）， ， 又∵A（﹣4，0），A′（4，0） ∴AA′=8，MD=， ∴= 点评： 本题考查了二次函数的性质与图象、中心对称、平行四边形的判定、菱形的判定，综合性较强，解决本题的关键是根据中心对称，求出抛物线的解析式，在（3）中注意菱形的判定与数形结合思想的应用． 26．（12分）（2015?陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为 24 ； （2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值； （3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
考点： 四边形综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC第15页（共17页）
﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可； （2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可； （3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可． 解答： 解：（1）如图①，过A作AE⊥BC， ∴四边形AECD为矩形， ∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4， 在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4， ∴AB=2BE=8，AE=则S△BMC=BC?AE=24； =4， 故答案为：24； （2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′， ∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC， ∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°， ∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8， ∴BE=4，AE=BE?tan60°=4， ∴CC′=2CD=2AE=8， ∵BC=12， ∴BC′==4， ∴△BNC周长的最小值为4+12； （3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小， 作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上， ∵AD∥BC， ∴圆O与AD相切于点P， ∵PQ=DC=4＞6， ∴PQ＞BQ， ∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方， 在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC， ∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C， ∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小， 连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC， ∵OB=OP=4﹣OQ， 第16页（共17页）
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