2013北京海淀区高三一模数学(文)试题

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海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （文科）

2013.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 集合2

{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N | N | ，则A B =

A. {1,2}

B. {3,4,5}

C.{4,5,6}

D.{3,4,5,6} 2.等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为

A. 14

B. 18

C. 21

D.27

3. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 值为5，则输出的y 值为 Ａ.

12

B. 1

C. 2

D.1-

4. 已知0a >，下列函数中，在区间(0,)a 上一定是减函数的是

Ａ. ()f x ax b =+ B. 2

()21f x x ax =-+

C. ()x

f x a = D. ()lo

g a f x x =

5. 不等式组1,40,0x x y kx y ≥??

+-≤??-≤?

表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为

A. 0

B. 1

C. 2

D.3 6. 命题:p ?,α∈R sin(π)cos αα-=； 命题:q 0,m ?>双曲线222

2

1x y m

m

-

=

.

则下面结论正确的是

A. p 是假命题

B.q ?是真命题

C. p ∧q 是假命题

D. p ∨q 是真命题 7.已知曲线()ln f x x =在点00(,())x f x 处的切线经过点(0,1)-，则0x 的值为

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Ａ. 1

e B. 1 C. e D.10

8. 抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ?为等边三角形时，其面积为

A.

B. 4

C. 6

D.

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 在复平面上，若复数1+i b （b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______.

10.若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则?a b 的值为______.

11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______.

12.在ABC ?中，若4,2,a b ==1cos 4A =

，则______.c = 13.已知函数22, 0,

(), 0x a x f x x ax a x ?-≥?=?++<??有三个不同的零点，则实数a 的取

值范围是_____.

14.已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合:

{|t A y =()y f x =，点(,())

P t f t ，(,())Q x f x

满足||PQ ≤. 设,t t M m 分别表示集合

t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-.则

(1) 若函数()f x x =，则(1)h =______;

（2）若函数π

()sin 2f x x =，则()h t 的最小正周期为______.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知函数2()2cos )f x x x =--. （Ⅰ）求π

()3f 的值和()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间ππ[,]63

-

上的最大值和最小值.

侧视图

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16. （本小题满分13分）

在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；

（II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.

频

17. （本小题满分14分）

在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC D ，ABC ?是正三角形，

A C 与

B D 的交点M 恰好是A

C 中点，又30CA

D ∠= ，4PA AB ==，点N 在线段PB 上，且1

3P N

N B =． （Ⅰ）求证：BD PC ⊥；

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（Ⅱ）求证：//M N 平面PD C ；

（Ⅲ）设平面PAB 平面P C D =l ，试问直线l 是否与直线C D 平行，请说明理由.

18. （本小题满分13分）

函数3

1()3

f x x kx =

-,其中实数k 为常数.

(I) 当4k =时，求函数的单调区间；

(II) 若曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点，求实数k 的取值范围. 19. （本小题满分14分）

已知圆M

：2

2

7(3

x y -+=

,若椭圆C ：

222

2

1x y a

b

+

=（0a b >>）的右顶点为圆M

2

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）已知直线l ：y kx =，若直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点（其中点G 在线段AB 上），且AG BH =，求k 的值.

20. （本小题满分13分）

设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B

x y x y ∈Z .令B A x x x ?=-，B A y y y ?=-，若x ?+=3y ?,且||||0x y ???≠，则称点B 为点A 的“相关

点”，记作：()B A τ=.

（Ⅰ）请问：点(0,0)的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆

的方程；若不在，说明理由；

（Ⅱ）已知点(9,3),(5,3)H L ，若点M 满足(),()M H L M ττ==，求点M 的坐标； （Ⅲ）已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈∈Z Z 为一个定点，点列{}i P 满足：1(),i i P P τ-=其中

1,2,3,...,i n =，求0n P P 的最小值.

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