高中数学解析几何知识点答题总结

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第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：0????180?

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

? k?tan（1）.倾斜角为90?的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线的斜率为k， 则当x1?x2时，k?tan??y1?y2o；当x1?x2时，??90；斜率不存在；

x1?x2二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x?x0；

2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程：y?kx?b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y?kx 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 3.两点式：若已知直线经过(x1,y1)和(x2,y2)两点，且（x1?x2,y1?y2则直线的方程：

y?y1x?x1?；

y2?y1x2?x1注意：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)?0时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（a?0,b?0）则直线方程：

xy??1； ab 1

注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax?By?C?0；（A,B不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数A,B,C是否为0才能确定。

?B?A,②指出此时直线的方向向量：(B,?A)，(?B,A)，??22A2?B2?A?B位向量）；直线的法向量：(A,B)；（与直线垂直的向量）

?? （单??6(选修4-4)参数式??x?x0?at（t参数）其中方向向量为(a,b)，

?y?y0?bt?|t|?； k?b；|PP|?； o?22a?a?b?ab?,单位向量?22a2?b2?a?b|P点P1P2|?1,P2对应的参数为t1,t2，则

|t1?t2|a?b22；

?x?x0?tcos?（t为参数）其中方向向量为(cos?,sin?)， t的几何意义为|PP?o|；斜

?y?y0?tsin?率为tan?；倾斜角为?(0????)。 三、两条直线的位置关系

位置关系 l1:y?k1x?b1 l2:y?k2x?b2k1?k2，且b1?b2 l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0A1B1C1(A1B2-A2B1=0) ??A2B2C2A1B1C1?? A2B2C2A1B1? A2B2A1A2?B1B2?0 平行 ? 重合 ? k1?k2，且b1?b2 相交 ? ? k1?k2 垂直 k1?k2??1 设两直线的方程分别为：

l1:y?k1x?b1或l1:A1x?B1y?C1?0；当k?k或

12l2:y?k2x?b2l2:A2x?B2y?C2?02

y?kx?b?Ax?By?C1?0A1B2?A2B1时它们相交，交点坐标为方程组??y?k1x?b1或?A1x?B1y?C2222?0??2解；

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：(A1,B1)??(A2,B2) 对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如(A1,B1)?(A2,B2)?0

②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率

为 0 ，则两直线垂直。

③对于A1A2?B1B2?0来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。 四、两直线的交角

（1）l1到l2的角：把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角；它是有向角，其范

围是0????；

注意：①l1到l2的角与l2到l1的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线l1与l2的夹角：是指由l1与l2相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是0????2；

（3）设两直线方程分别为：

l1:y?k1x?b1或l1:A1x?B1y?C1?0 l2:y?k2x?b2l2:A2x?B2y?C2?0k2?k1A1B2?A2B1tan??或；

1?k2k1A1A2?B1B2k2?k1A1B2?A2B1tan??或；

1?k2k1A1A2?B1B2o①若?为l1到l2的角，tan??②若?为l1和l2的夹角，则tan??③当1?k1k2?0或A1A2?B1B2?0时，??90；

注意：①上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有

一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。

?????(??)?????(??)； ②直线l1到l2的角?与l1和l2的夹角?：或

22五、点到直线的距离公式：

3

1.点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离为：d?|Ax0?By0?C|A?B22；

2.两平行线l1:Ax?By?C1?0，l2:Ax?By?C2?0的距离为：d?六、直线系：

（1）设直线l1:A1x?B1y?C1?0，l2|C1?C2|A?B22；

:A2x?B2y?C2?0，经过l1,l2的交点

的直线方程为A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0（除去l2）；

如：①y?kx?1?y?1?kx?0，即也就是过y?1?0与x?0的交点(0,1)除去x?0 的直线方程。

②直线l:(m?1)x?(2m?1)y?m?5恒过一个定点 。

注意：推广到过曲线f1(x,y)?0与f2(x,y)?0的交点的方程为：f1(x)??f(x2)?0； （2）与l:Ax?By?C?0平行的直线为Ax?By?C1?0； （3）与l:Ax?By?C?0垂直的直线为Bx?Ay?C1?0； 七、对称问题： （1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点

(2c?a,2d?b)

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再

由两点式求出直线方程； Ⅱ、求出一个对称点，在利用l1//l2由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线l1:2x?3y?6?0关于点P(1,?1)对称的直线l2的方程。 （2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点A(?3,5)关于直线l:3x?4y?4?0对称的坐标。

4

②直线关于直线对称：（设a,b关于l对称）

Ⅰ、若a,b相交，则a到l的角等于b到l的角；若a//l，则b//l，且a,b与l的距

离相等。

Ⅱ、求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。 Ⅲ、设P(x,y)为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P'的坐标适合a的方程。

如：求直线a:2x?y?4?0关于l:3x?4y?1?0对称的直线b的方程。 八、简单的线性规划：

（1）设点P(x0,y0)和直线l:Ax?By?C?0，

①若点P在直线l上，则Ax0?By0?C?0；②若点P在直线l的上方，则

B(Ax0?By0?C)?0；

③若点P在直线l的下方，则B(Ax0?By0?C)?0； （2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式Ax?By?C?0(?0)，

①当B?0时，则Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0上方的区域；

Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0下方的区域；

②当B?0时，则Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0下方的区域；

Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0上方的区域；

注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线Ax?By?C中，根据?0或?0来表示二元一次不等式表示平面区域。 （3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当B?0时，将直线Ax?By?0向上平移，则z?Ax?By的值越来越大； 直线Ax?By?0向下平移，则z?Ax?By的值越来越小；

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