自主学习01 教材内容 第七章 自旋与角动量

自主学习01 教材内容 第七章 自旋与角动量

知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节

第五节 第六节 第七节 第八节 本章习题 本章自测

知识框架

重点难点

1.自旋算符与泡利矩阵 2.轨道自旋耦合及自旋自旋耦合 3.两电子体系的自旋波函数 4.两个角动量的耦合(CG系数)

7.1电子的自旋

[教学目标]:理解电子的自旋 [重点难点]:自旋 [教学内容]:

在较强的磁场下（∽10T），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它

但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽10?1T）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不

是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度并不是完全的。

我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。

x,y,z来描述

当然，自旋是Dirac电子的相对论性理论的自然结果。现在我们从实验事实来引入。 (1)电子自旋存在的实验事实

（1）Stern-Gerlach实验（1922年）

当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩

?，那在磁场中的附加能量为

U????B???Bcos?

如果经过的路径上，磁场在z方向上有梯度，即不均匀，则受力

dBdzF???U??cos?

从经典观点看cos?取值（从?1?1）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值

??dBdz —

?dBdz

所以原子分裂成一个带。

但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的银原子通 过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道

（两个态）。而人们知道，银原子（z?47）基 态l?0，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二 个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的 投影仅取二个值。这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，

因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩动量称

?s，与之相联系的角

为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。 （2）电子自旋存在的其他证据

A．碱金属光谱的双线结构

钠原子光谱中有一谱线，波长为5893?，但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。

D1?5895.93?

D2?5889.95?

这一事实，从电子仅具有三个自由度是无法解释的。 B．反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect）

原子序数z为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶（如钠

和

DD12的两条光谱线，在弱磁场中分裂为4条和6条）。这种现象称为反常塞曼效应。不引入电子

自旋也是不能解释的。

e?Bge?DC．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为

2?，而是

2?B。

对于不同能级，

gD可能不同，而不是简单为1 (

gD称Lande?g因子)。

根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设

① 电子具有自旋

S，并且有内禀磁矩?eme?s，它们有关系

?s?S

??2 ，所以

② 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值

e?2me?z???

zSz??eme

e以

2me为单位，则

gs??2（而

gl??1）

?自旋的回磁比为 gs??2

现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正

gs??2(1??2???)??2.0023192

4.2自旋波函数

[教学目标]:掌握自旋波函数 [重点难点]:自旋波函数 [教学内容]:

考虑电子自旋后,电子不是一个简单的具有三个空间自由度的粒子,它还有自旋自由度.为描述自旋自由度,引入自旋z分量

sz作为波函数的一个新自变量,于是波函数坐标表示形式

??r,sz,t?? (1)

?2两个分离值,与自旋算符在sz对角化表象中是2?2矩阵相对应,使用二分量波函数形

由于式

sz?只能取

??????r,sZ,t??????????r,?????r,?????,t??2????????1???,t???2??1?r,t??1??????r,t??2??r,t???1????r,t???2 (2)

?

12称为旋量波函数.

??是

?zs??的本征态,本征值为

,即

?z?s???12??? (3)

?????????,?0??1???????????0??1? (4)

??分别表示自旋向上和向下的态,它们构成了电子的自旋态的一组完备基矢,任何一个自旋态

??SZ?都

可用它们来展开

??sz??a???b???a??????b?? (5)

?Sz自旋波函数(1) 正是电子的计及空间坐标的波函数,可理解为考虑自旋后的电子波函数,按表象基矢的

展开,其物理意义就非常显,即

??r,t?1?2和

??r,t?2?2?分别表示t时刻在空间r处找到电子自旋向上和自

旋向下的几率密度.所以,归一化条件为

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