热学习题分析和解答

习题分析和解答

[第一章

△1. 3. 6一抽气机转速ω?400r?min，抽气机每分钟能抽出气体20 l (升)。设容器的容积

?1V0 = 2.0 1，问经过多长时间后才能使容器内的压强由0.101 Mpa 降为 133 Pa。 设抽气

过程中温度始终不变。

〖分析〗： 抽气机每打开一次活门, 容器内气体的容积在等温条件下扩大了 V, 因而压强有所降低。 活门关上以后容器内气体的容积仍然为 V0 。下一次又如此变化，从而建立递推关系。 〖解〗： 抽气机抽气体时，由玻意耳定律得： 活塞运动第一次：

p0V0?p1(V0?V)

活塞运动第二次：

p1?V0p0V0?V

???p0?

2p1V0?p2(V0?V)

活塞运动第n次：

?V0V0p2?p1???V?VV0?V?0????npn?1V0?pn(V0?V)

（1） 抽气机每次抽出气体体积

?V0pn?p0??V? V?0n?ln

pnp0nV0V0?V

V?(20/400)l?0.05l V0?2.0l p0?1.01?105Pa pn?133Pa

将上述数据代入（1）式，可解得 n?276。

则

t?(276/400)?60s?40s

1. 3. 8 两个贮着空气的容器 A 和 B，以备有活塞之细管相连接。容器A 浸入温度为 t1?1000C 的水槽中，容器B浸入温度为 t2??200C 的冷却剂中。开始时，两容器被细管中之活

塞分隔开，这时容器 A 及 B 中空气的压强分别为 p1?0.0533MPa，p2?0.0200MPa。它们的体积分别为 V1?0.25l, V2?0.40l, 试问把活塞打开后气体的压强是多少？

〖分析〗： 把活塞打开后两容器中气体混合而达到新的力学平衡以后，A和 B 中气体压强应该相等。但是应注意到, 由于 A 和 B 的温度不相等，所以整个系统仍然处于非平衡态。 我们不能把 A 和B气体的整体作为研究对象, 而先把从 A 流入 B 的那部分气体作为研究对象，求出它的物质的量（ 即 mol 数 ），然后按照混合前后 A 和 B总的物质的量不变这一点列出方程。

〖解〗：设原容器 A 中有 ?V 体积的气体进入容器 B，且打开活塞后气体压强为 p。对原容器 A 中 剩下的(V1??V) 体积的气体进行研究，它们将等温膨胀到体积 V1，因而有

p1(V1??V)?pV1

（1）按照理想气体方程, 有 νR?pV/T 关系，原容器 A 中 ?V 体积的气体和原容器 B 中 V2 体积的气体进行研究，它们合并前后物质的量应该不变，所以

p1?Vp2V2pV2??T1T2T2（2）由（1）式、（2）两式化简可得

1

pV1TV(p?p2)pVT?p2V2T1??V?12p?112p1p1T2V1T2?T1V2

4代入上述数据，可以得到活塞打开后气体的压强 p?2.98?10Pa。

V1?

△1. 3. 10 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强 p 的空气。先对管子加热，使从开口端温度 1 000 K 均匀变为闭端 200 K 的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为 100 K，试问管中最后的压强是多大？

〖分析〗： 开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为 100 K 以后, 长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为

100 K 以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用 p= n kT

公式。

〖解〗：因为管子是一端开口的，所以 p?p0。显然，管子中气体的温度分布应该是

T(x)?200?（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑 x ~ x + dx 一 段气体, 它的分子数密度为 n ( x ) , 设管子的横截面积为 S, 考虑到 p = n kT , 则这一小段中的气体分子数为

1000?200xL

dN?Sn(x)dx?管子中气体总分子数为

SpdxkT(x)

N?利用（1）式可得

SpLdx??k0T(x)

SpL800x?1N???(200?)dxk0L

管中气体最后的压强是p1（p1?p0）, 温度是 T ，.则

N?SLp1/kT

由上面两式相等 , 最后可以计算出

p?(1/8)?p0?ln5?0.20p0

即：管中气体最后的压强为0.20p0。

1. 4. 1 在什么温度下，下列一对温标给出相同的读数（如果有的话）：

(1) 华氏温标和摄氏温标； （2）华氏温标和热力学温标； （3）摄氏温标和热力学温标?

?9t?tF???0?32?0F0t?[T?273.15K]C。 5C??〖提示〗：利用 ，

〖答〗：（1）－40 ℃；（2）575 K；（3）没有。

1. 4. 2 定体气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为 6.7?10Pa。 （1）用温度计测量 300 K 的温度时，气体的压强是多少？ （2） 当气体的压强为

39.1?103Pa 时，待测温度是多少？

3p?6.7?10Pa。利用如下公式进行计算： tr〖提示〗：

pT(p)??273.16Kptr ( 体积不变 )

3〖答〗：（1）7.4?10Pa；（2）371 K。

2

1. 4. 3 用定体气体温度计测得冰点的理想气体温度为 273.15 K，试求温度计内的气体在冰点时的压强与该气体在水的三相点时压强之比的极限值。

〖解〗： 利用公式.

T?273.15K?limlim所以

ptr?0ptr?0p?273.16Kptr

p273.15??0.99996ptr273.16

1. 5. 2 试估计水的分子互作用势能的数量级，可近似认为此数量级与每个分子所平均分配到的汽化热数量级相同。再估计两个邻近水分子间的万有引力势能的数量级，判断分子力是否可来自万有引力。

〖分析〗： 水中的分子热运动而不分散开, 是因为分子之间有作用力。水的汽化是某些水分子有足够大的热运动能量，足以克服分子之间作用力而跑到外面成为自由的气体分子。我们知道分子之间作用力势能是负的, 气体分子的势能为零。所以汽化热是用来增加分子之间作用力势能的。另外也要考虑到, 液体转变为气体时体积扩大作等压膨胀要对外做功，它所需要的能量也由汽化热提供。但是一般说来这两者的数量级差不多相等，而且后者小于前者。所以可以利用前者来估计分子互作用势能的数量级。

6-12.25?10J?kg〖解〗： 水的汽化热为 ，它的摩尔汽化热为

6LV,m?2.25?10?0.018J?mol?1?4.05?104J?mol?1

?20??L/N?6.7?10J pV,mA每摩尔有 NA 个分子，每个分子平均分摊到的汽化热为

可以认为 ?p 就是水的分子互作用势能的数量级。

至于水中两邻近分子的万有引力势能的数量级，可以利用万有引力势能公式来估计。假定水中两最邻近分子质量中心之间的距离为 3.8?10?10?52ε?1.6?10J。p引力势能的数量级为。

m（ 利用上题的结果 ），则每个分子所平均分摊到的万有

?32〖讨论〗：我们发现万有引力势能的数量级要比分子互作用势能小 10。由于分子互作用势能来自

电磁相互作用，这说明万有引力相互作用要比电磁相互作用弱得多。

-3

1. 6. 3 一容积为 11.2l 的真空系统已被抽到 1.33×10 Pa 的真空。为了提高其真空

度，将它放在温度为 300C 的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体。若烘烤后压强增为 1.33

0Pa，问器壁原来吸附了多少个气体分子？

〖分析〗： 烘烤时温度上升, 器壁所吸附的气体分子有足够大的能量克服器壁对它的吸引力而释放出来。真空系统的压强相应增加。利用 p?nkT 公式可以计算出吸附气体分子数。

18〖答〗： 1.88?10。

0p?0.101MPat?27C，试求：1. 6. 4 一容器内贮有氧气，其压强为 ，温度为（1）单位

体积内的分子数；(2) 氧气的密度；(3) 分子间的平均距离： (4) 分子的平均平动动能。

〖分析〗： 利用 p?nkT 公式可以得到单位体积内的分子数。利用Mm?mNA 和 ρ?nm 公式可以得到氧气的密度和分子质量。利用

1/n?L3 和 εt?3kT/2

可以分别求得分子间的平均距离 L 和分子的平均平动动能。

25-3-3?9?21〖答〗：（1）2.44?10m；（2）1.30kg?m；（3）3.4?10m；（4）6.2?10J。

3

第二章

22f(x)?Aexp(?ax)?4π?xx2．2．2 量的概率分布函数具有形式 ,式中 A 和 a 是

常数，试写出x的值出现在 7.999 9到8.000 1 范围内的概率 P 的近似表示式。

〖解〗： 归一化，

在上述积分中考虑到 f ?????f(x)dx?1

( x) 是偶函数，所以有

?可以知道处于7.999 9

????f(x)dx?2???0f(x)dx?8π?A?πa?3/2/4?1

A?(a/π)/2

3/2~ 8.000 1

范围内概率为

P?A?e?64a?4π?64??x

?0.5?(a/π)3/2?4π?64?exp(?64a)?0.0002

2. 3. 1 求0C,0.101MPa下 1.0cm的氮气中速率在500m?s 到 501m?s

03-1-1之间的分子数。

〖分析〗： 这是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数的问题, 应该用相对于最概然速率的麦克斯韦速率分布, 即使用误差函数来求解。 但是注意到, 500m?s 到 501m?s 之间仅仅差 1m?s，它要比 500m?s 小得多。可以认为在 500m?s 到 501m?s 范围内麦

-1-1500m?s501m?s克斯韦速率分布是不变的。它的概率等于在横坐标为 到 之间的麦克斯韦速

-1-1-1-1-1-1率分布曲线线段下面的面积（ 这个梯形可以看作矩形 ）。

〖解〗： 设 0C,0.101MPa下，1.0cm中的理想气体分子数为N, 利用洛施密特常量

03n0?2.7?1025m?3 可以得到

N?1.0?10?6?2.7?1025?2.7?1019

利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v~v?dv 之间的分子数为

Nf(v)dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?v2dv （1）

-1-1现在其中的 v?500m?s,dv?1m?s, 氮气温度 T?273K，而氮分子质量 m?28?1.67?10?27kg。将它们代入（1）式即得到在 500m?s-1到 501m?s-1 之间的分子数为

?N?4.96?1016。

25?3N, 利用洛施密特常量 n0?2.7?10m 可以得到

N?1.0?10?6?2.7?1025?2.7?1019

利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v~v?dv 之间的分子数为

Nf(v)dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?v2dv （1）

-1-1现在其中的 v?500m?s,dv?1m?s, 氮气温度 T?273K，而氮分子质量 m?28?1.67?10?27kg。将它们代入（1）式即得到在 500m?s-1到 501m?s-1 之间的分子数为

?N?4.96?1016。

2. 4. 1 因为固体的原子和气体分子之间有作用力，所以在真空系统中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层，设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动，这些分子十分近似地形成 2维理想气体。如果这些分子是单原子分子，吸附层的温度为 T，试给出表示分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内的概率 f (v) d v 表达式。

4

〖解〗： 我们知道, 通常的麦克斯韦速度分布是 3 维的

f(vx)dvx?f(vy)dvy?f(vz)dvz （1）

其中速度在x,y,z的3个分量上的分布函数都具有如下形式：

f(vi)dvi?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvi2/2kT)dvi

(i?x,y,z) （2）

显然，只能在XY平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是

2f(vx)dvx?f(vy)dvy?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)dvx

2?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvy/2kT)dvy （3）

这就是 2 维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。（3）式也可以写为

f(vx)?f(vy)?dvxdvy?f(vx,vy)dvxdvy （4）

其中 dvxdvy 实际上就是在2维速度空间中位置在 vx~vx?dvx，vy~vy?dvy 范围内的正方形

这一微分元的面积，而

f(vx,vy)dvxdvy?f(vx)dvx?f(vy)dvy

是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。设在 2 维速度空间中位置在 vx~vx?dvx，

vy~vy?dvy 范围内的这一微分元上的分子代表点数为 dNvx,vy。显然它被除以微分元的面积 dvxdvy，就是在 2维速度空间中的分子代表点的数密度 D(vx,vy)，所以

D(vx,vy)?dNvx,vy/dvxdvy?Nf(vx,vy) 22?N(m/2π?kT)1/2?exp[?m(vx?vy)/2kT]

（5）下面我们从速度分布导出速率分布。我们知道2 维理想气体的麦克斯韦速率分布表示了分子处在 2 维速度空间中, 半径为 v~v?dv 的圆环内的概率 dNv/N。dNv 是在半径为 v~v?dv 的圆环内的分子代表点数。它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度 D(vx,vy)。利用（5）式可以得到

dNv?D(vx,vy)?2π?vdv

?N?(m/2π?kT)?exp(?mv2/2kT)?2πvdv

?N?(m/kT)?exp(?mv2/2kT)vdv

所以分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内的概率 f (v) d v 的表达式为

dNv?f(v)dv?(m/kT)?exp(?mv2/2kT)vdvN （7）

它就是2 维理想气体的麦克斯韦速率分布。

2. 4. 2 分子质量为 m 的气体在温度 T 下处于平衡。若以 vx,vy,vz及 v 分别表示分子速度的 x、y、z 三个分量及其速率，试求下述平均值：

2222vv(v?bv)vvvvxyxy（1）x；（2）x；（3）x；（4）；（5）。

〖分析〗： 在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质, 即互相排斥事件概率相加法则和相互统

计独立的事件概率相乘法则。 另外, 因为麦克斯韦速度分布函数是个偶函数, 所以在积分时要区分被积函数是偶函数还是奇函数。对于偶函数，因为积分范围 ??~?? 是对称区间, 所以应该分区间积分。

〖解〗： （1）麦克斯韦的速度的 x、y、z 三个分量分布可以表示为.

f(vi)?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvi2/2kT) (i?x,y,z)

????

???02(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)vxdvx

??2(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx

5

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