数学建模

数学建模综合练习

第一章 数学建模方法论

1．举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型．

2．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等．

（1）估计一个人体内血液的总量．

（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）． （3）估计一批日光灯管的寿命．

（4）确定火箭发射至最高点所需的时间． （5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．

（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．

（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划

3．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少．

4．假定人口的增长服从这样的规律：时间t的人口为x (t)，t到t+?t时间内人口的增长与xm- x(t)成正比（其中xm为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较．

5．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题：

（1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？

（2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？

（3）某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间．

6．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象．

（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素．

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小．解释实际意义是什么？

7．用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求 w ? d 布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角?应多大（如

图1）．若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端 图1 1

的影响）．如果管道是其它形状呢？

8．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k>r．在每一生产周期T内，开始的一段时间（0

第二章 初等数学模型

1．在2.5节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型．

2．设某产品的售价为p，成本为q，售量为x（与产量相等），则总收入与总支出分别为

I?px，C?qx．试在产销平衡的情况下建立最优价格模型．

3．在最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型．

4．在考虑最优价格模型问题时，设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q=q0 +?t，?为增长率．又设单位时间的销售量为x = a – bp（p为价格）．今将销售期分为0< t

第三章 微分方程模型

1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．

（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的．

（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低． （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用．

2．建立铅球掷远模型．不考虑阻力，设铅球初速度为v，出手高度为h，出手角度为?（与地面夹角），建立投掷距离与v，h，?的关系式，并求v，h一定的条件下求最佳出手角度．

?(t)?rxln 3．与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：xN，其x中r和N的意义与Logistic模型相同．

设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x*0．

4．在一种溶液中，化学物质A分解而形成B，其速度与未转换的A的浓度成比例．转换A的一半用了20分钟，把B的浓度y表示为时间的函数，并作出图象．

第四章 运筹学模型

1．一家保姆公司专门向顾主提供保姆服务．根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日．公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天，保姆从该公司而不从顾主那里得到报酬，每人每月工作800元．春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职．

（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划．（建立数学模型）

（2）如果在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划．（建立数学模

2

型）

2．某工厂生产两种产品A、B分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表

产品 A B 预测售量（万件/周） 7 4.5 生产率（件/小时） 1000 1000 单位利润（元/件） 0.15 0.3 制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标： （1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内；

（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比； （4）尽量减少加班时间．

例3 医院为病人配制营养餐，要求每餐中含有铁不低于50单位，蛋白质不低于40单位，钙不低于42单位．假设仅有两种食品A和B可供配餐，相关数据见下表．试问，如何购买两种食品进行搭配，才能即使病人所需营养达到需求，又使总花费最低？

食品 营养含量 铁 蛋白质 钙 价格

A B 10 5 5 8 6 5 4 3 （单位） （mg） (g) (mg) (元/kg) 第五章 概率统计模型

1．报童每天订购的报纸，每卖出一份赢利a元，如果卖不出去并将报纸退回发行单位，将赔本b元．每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失．设P(m)是售出m份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小．

2．血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止．很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力．若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型．

３．假设有一笔1000万元的资金于依次三年年初分别用于工程A和B的投资．每年初如果投资工程A，则年末以0.4的概率回收本利2000万元或以0.6的概率分文不收；如果投资工程B，则年末以0.1的概率回收2000万元或以0.9的概率回收1000万元．假定每年只允许投资一次，每次只投1000万元；试确定第3年末期望资金总数为最大的投资策略．

4．某石油公司必须就下一个打井位置作出决定．如果打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资费用（打井费用）全部赔掉．如果打出来的是气井，则可以说是部分成功，如果打出来的是油井，则是完全成功．由于结果的不确定性，更由于做某种测试（取样）只能得到不完全的信息，因而作出决定是困难的．试建立一个数学模型，使公司的预期收益最大

第六章 线性代数相关模型

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国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工（称为投入）变为自己的产品（称为产出），如何根据各部门间的投入—产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求，是投入产出综合平衡模型研究的课题.试讨论如下的简化问题.

设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表3-2-1所示（数字表示产值，单位为亿元）.

表3-2-1 国民经济各个部门间的关系

产出 农业 投入 农业 制造业 服务业 外部需求 总产出 15 30 20 35 100 20 10 60 110 200 30 45 / 75 150 35 115 70 100 200 150 制造业 服务业 外部需求 总产出 表中第一行数字表示，农业总产出为100亿元，其中15亿元农产品用于农业生产本身（如提供种子），20亿元用于制造业（如提供木材、毛皮），30亿元用于服务业，剩下35亿元农产品用来满足外部需求（包括消费、积累、出口等）.可以类似的解释第二、三、行数字.第一列数字中，15亿元如前所述，30亿元是制造业对农业的投入（如提供农具），20亿元是服务业对农业的投入，35亿元的初始投入包括工资、税收、进口等，总投入100亿元与总产出相等.

假定每个部门的产出与投入是成正比的，由表3-2-1能够确定这三个部门的投入产出表，如表3-2-2。

表3-2-2 投入产出表

产出 农业 投入 农业 制造业 服务业 0.15 0.30 0.20 0.10 0.05 0.30 0.20 0.30 0 制造业 服务业 表中第一行、第二列的数字0.10表示，生产1个单位产值的制造业产品需投入0.10个单位产值的农产品，这是由表1中20亿元农产品投入制造业，可以产出200亿元制造业总产值而来的

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（20?200=0.1）.同样，第三行、第一列的数字0.20表示，生产1个单位产值的农产品需要0.20个单位的服务业产值，因为表3-2-1中20亿元的服务业产值投入农业，得到100亿元的农业总产值.表3-2-2的数字称为投入系数或消耗系数，如果技术水平没有变化，可以假设系数是常数. （1）设有n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建立求解个部门总产出的模型.

（2）系数如表3-2-2所给，如果今年对农业、制造业、和服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，问这三个部门的总产出分别应为多少？

（3）如果三个部门的外部需求分别增加1个单位，他们的总产出应分别增加多少？

（4）如果对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产出，模型就称为可行的.问为使模型可行，投入系数应满足什么条件？

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