北京交通大学信号与系统时域分析

【研讨题目2】 信号与系统时域分析专题研讨

【目的】

1.研究用离散方法近似计算连续信号的卷积积分；

2.通过分析近似计算卷积积分过程中出现的问题，锻炼学生分析问题和解决问题的能力； 【知识点】

信号时域分析，卷积积分，卷积和 【研讨题目】连续信号卷积积分的数值近似计算

两个连续信号的卷积积分定义为

?y(t)????x(?)h(t??)d?

为了能用数值方法进行计算，需对连续信号进行抽样。记x[k]=x(k?), h[k]=h(k),为进行数值计算所选定的抽样间隔，可以证明连续信号卷积积分可近似的表示为

y(kΔ)?Δ?(x[k]?h[k])

(1)

由式(1)可知，可以利用Matlab提供的conv函数近似计算连续信号的卷积积分。 一、(*)理论分析

为了对近似计算的结果进行分析，用解析的方法计算下列卷积积分，推出卷积积分的解析表达式； (1) 时限信号卷积积分

x1(t)=u(t)?u(t?1)，y1(t)=x1(t)?x1(t);

卷积结果为：y1(t)= x1(t)?x1(t)=r(t)-2*r(t-1)+r(t-2) (2) 分段常数信号卷积积分

x2(t)= x1(t)+2 x1(t?1)+ x1(t?2)，h2(t)= x1(t)? x1(t?1)， y2(t)=x2(t)?h2(t); 卷积结果为：y2(t)= x2(t)?h2(t)

=y1(t)+y1(t-1)-y1(t-2)-y1(t-3)

=r(t)-r(t-1)-2*r(t-2)+2*r(t-3)+r(t-4)-r(t-5) (3) 非时限信号卷积积分

x3(t)=u(t)，h3(t)=e?tu(t), y3(t)=x3(t)?h3(t)

卷积结果为：y3= x3(t)?h3(t) =[1-exp(-t)]*u(t) 二、(*)时限信号卷积积分的近似计算

取不同的△值，用Matlab函数conv近似计算卷积积分y1(t)并画出其波形，讨论?的取值对计算结果的影响。

上图中，绿线为间隔0.01的结果，蓝线是间隔0.1结果，红线为实际结果， 由此可见：时间间隔越小，与实际结果越接近。

附程序代码： t1=[0:0.01:5]; t2=[0:0.1:5]; t=[0:0.1:5];

x1=1.*(t1>=0)-1.*(t1>=1); x2=1.*(t2>=0)-1.*(t2>=1);

y1=convn(x1,x1); y2=convn(x2,x2);

y=t.*[t>=0]-2*(t-1).*[t>=1]+(t-2).*[t>=2]

N1=length(y1); %length函数取y1的长度% N2=length(y2);

plot(t,y,'r'); hold on;

plot(0:0.01:(N1-1).*0.01,y1*0.01,'g'); plot(0:0.1:(N2-1).*0.1,y2*0.1,'b'); axis([0 5 0 1])

三、(**)分段常数信号卷积积分的Matlab计算

(1)若x2[k]={1，2 ，1，0; k=0,1,2}, h2[k]= {1，1 ; k=0,1}，计算离散卷积y2[k]=x2[k]?h2[k]；

y2[k]=x2[k]?h2[k]结果如下：

附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1]; y2=conv(x2,h2); N=length(y2); stem(0:N-1,y2); axis([0 8 -1 1])

(2)比较y2(t)和y2[k]，你发现了什么？

y2(t)的图像如下：

附程序代码：t=[0:0.1:5];

y=t.*[t>=0]-(t-1).*[t>=1]-2*(t-2).*[t>=2]+2*(t-3).*[t>=3]+(t-4).*[t>=4]-(t-5).*[t>=5] plot(t,y); hold on;

axis([0 8 -1 1])

y2(t)和y2[k]图像比较：

附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1]; y2=conv(x2,h2); t=[0:0.1:5];

y=t.*[t>=0]-(t-1).*[t>=1]-2*(t-2).*[t>=2]+2*(t-3).*[t>=3]+(t-4).*[t>=4]-(t-5).*[t>=5] N=length(y2); stem(0:N-1,y2); hold on;

axis([0 8 -1 1]) plot(t,y); hold on;

axis([0 8 -1 1])

比较两图可知，y2(t)与y2[t]的卷积积分相似，将y2[t]向右平移一个单位后，两图像波形重合，若在y2[t]最前面补零，或缩小抽样间隔，即可由y2[t]的卷积积分近似地求解y2（t）地卷积积分。

(3)对(2)中发现象进行理论分析，根据理论分析的结果，给出用Matlab函数conv计算卷积积分y2(t) 的方法并画出卷积积分y2(t)的波形；

x2(t)=u(t)+u(t-1)-u(t-2)-u(t-3),h2(t)=u(t)-2u(t-1)+u(t-2)

x2[k]={1， 2 ，1， 0; k=0,1,2}, h2[k]= {1，1;k=0,1}

当抽样间隔为0.1时，y2[t]比y2(t)超前一个单位，故在y2[t]最前面补零，采用plot即可画出y2(t)的正确波形。另外，由二题研讨可知，将抽样间隔缩小（例如抽样间隔取0.01），采用plot画图也可以得到y2(t)的正确波形。

采用补零的方法画出y2(t)的波形为：

附程序代码：x2=[0,1,2,1,0];h2=[1,-1]; %在x2最前面补零 y2=conv(x2,h2); N=length(y2); plot(0:N-1,y2); axis([0 8 -1 1]

(4)若分段常数的区间宽度不是1，应如何修改算法？

如图，若间隔为0.5时，图像及代码如下：

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