概率论五六章习题详解（王志刚版）

概率论与数理统计 习题五

1 .已知E(X)?1，D(X)?4，利用切比雪夫不等式估计概率

P?X?1?2.5?.

解： 据切比雪夫不等式

?2P?X??????1?2

?4P?X?1?2.5??1?2

2.59? . 252．设随机变量X的数学期望E(X)??，方程D(X)??，利用切比雪夫不等式估计P?|X??|?3??.

解：令??3?，则由切比雪夫不等式

2P?|X??|?3???D(X) ， 有 ?2?21P?|X??|?3????. 2(3?)93. 随机地掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527之间的概率.

解： 设X为6颗骰子所出现的点数之和；

Xi为第i颗骰子出现的点数，i?1,2,,6，

则X??X，且X,X,...,Xii?16126独立同分布，

分布律为：

1

?12?11???6666??1?，于是 ?6?17E(Xi)??k??

62k?1191E(X)??k??

66k?12i26所以D(Xi)?E(Xi)?E(Xi)

229149?? 6435? ，i?1,2,,6 127因此 E(X)??E(Xi)?6??21

2i?1D(X)??D(Xi)?6?i?16635 1235? 2故由切比雪夫不等式得：

P?|5?X?27??P?14?X?28?

?P??7?X?21?7? ?P?|X?E(X)|?7?

?1?P?|X?E(X)|?7?

D(X)?1?2

713559?1???1??.

4921414

2

9即6颗骰子出现点数之和在1527之间的概率大于等于 .

144. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率.

解： 以Xi表示第i次炮击击中的颗数(i?1,2,,1000)

有E(Xi)?0.4 ，D(Xi)?3.6

据 定理：

1000??则P?380??Xi?420?

i?1??420?400380?400??()??()

3600360011??()??(?)

331?2?()?1

3?2?0.6293?1 ?0.2586 .

5. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g. 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.

解： 设Xi为第i个螺丝钉的重量，i?1,2,,100， 且它们之间独立同分布，

3

于是一盒螺丝钉的重量X??X，

ii?1100且由E(Xi)?100，D(Xi)?10知

E(X)?100?E(Xi)?10000，D(X)?100，

由中心极限定理有：

?X?1000010200?10000?P(X?10200)?P???

100?10??X?10000??P??2? ?100??X?10000??1?P??2?

?100??1??(2)

?1?0.97725?0.02275 .

6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从??0.5,0.5?上的均匀分布. （1）若有1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率达到90%以上.

解： 设Xi为第i个加数的取整舍入误差， 则?Xi?为相互独立的随机变量序列， 且均服从??0.5,0.5?上的均匀分布，则

E(Xi)????xdx?0

?0.50.5 4

1D(Xi)????xdx?

?0.51220.52（1） 因n?1200很大，

1200由独立同分布中心极限定理对该误差总和

?Xi?1i，

?1200?P??Xi?15? ?i?1??1200???Xi?15??i?1?P???

1200??1200?12??12????121200??2P?Xi?1.5? ??1200i?1????2(1??(1.5)) ?0.1336 .

即误差总和的绝对值超过15的概率达到13.36% .

(2) 依题意，设最多可有n个数相加，则应求出最大的n，

?n?使得P??Xk?10??0.9

?k?1?由中心极限定理：

?n???nP??Xi?10??P??Xi?i?1???i?1n?1012n??? 12???2?(10

n)?1?0.9 . 125

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