线性代数 第一章 行列式 1.4

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§1.4

行列式按行(列)展开 a1n a2n 则 a nn

a11 a12 a a 设 D 21 22 a n1 a n 2

D i j a i1 A j1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 i j D i j a1i A1 j a 2 i A2 j a ni Anj 0 i j

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定义1 3(余子式与代数余子式) 在n阶行列式D |aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij 令 Aij ( 1)i jMij Aij称为元素aij的代数余子式 例如 四阶行列式a11 a 21 D a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44

在D中 a32的代数余子式是A32 ( 1) 3 2 M 32 a11 a13 a14 a 21 a 23 a 24 a 41 a 43 a 44

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定义1 3(余子式与代数余子式) 在n阶行列式D |aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij 令 Aij ( 1)i jMij Aij称为元素aij的代数余子式 例如 四阶行列式a11 a 21 D a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44

在D中 a32的代数余子式是A32 ( 1) 3 2 M 32 a11 a13 a14 a 21 a 23 a 24 a 41 a 43 a 44

a13的代数余子式是A13 ( 1)1 3 M 13 a 21 a 22 a 24 a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a 44

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定理1 4(行列式按行列展开定理) n行列式D |aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积的和 即 D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin ( i 1 2 n) 或 D a1jA1j a2jA2j anj Anj ( j 1 2 n) 定理1 5 n阶行列式D |aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)对应 元素的代数余子式乘积的和等于零 即 ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j) 或 a1iA1j a2iA2j aniAnj 0(i j)

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1 0 2 例 1 分 别 按 第 一 行 与 第 二 列 展 开 行 列 式 D 1 1 3 2 3 1

解 (1)按第一行展开 D 1 ( 1)1 1 1 3 1 3 1 1 0 ( 1)1 2 ( 2 ) ( 1)1 3 3 1 2 1 2 3

1 ( 8) 0 ( 2) 5 18

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1 0 2 例 1 分 别 按 第 一 行 与 第 二 列 展 开 行 列 式 D 1 1 3 2 3 1

解 (1)按第一行展开 D 1 ( 1)1 1 1 3 1 3 1 1 0 ( 1)1 2 ( 2 ) ( 1)1 3 3 1 2 1 2 3

1 ( 8) 0 ( 2) 5 18 按第二列展开 D 0 ( 1)1 2 1 3 1 2 1 2 1 ( 1) 2 2 3 ( 1) 3 2 2 1 2 1 1 3

0 1 ( 3) 3 ( 1) 5 3 15 18

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1 2 3 4 1 0 1 2 例 2 计 算 行 列 式 D 3 1 1 0 1 2 0 5

解 方法一 将D按第三列展开 应有 D a13A13 a23A23 a33A33 a43A

43 其中a13 3 a23 1 a33 1 a43 0 A13 ( 1)1 3 1 0 2 1 2 4 3 1 0 19 A23 ( 1) 2 3 3 1 0 63 1 2 5 1 2 5 1 2 4 1 2 4 1 0 2 18 A43 ( 1) 4 3 1 0 2 10 1 2 5 3 1 0

A33 ( 1) 3 3

所以

D 3 19 1 ( 63) ( 1) 18 0 ( 10) 24

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1 2 3 4 1 0 1 2 例 2 计 算 行 列 式 D 3 1 1 0 1 2 0 5

解 方法二 先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化 为仅含有一个非零元素 再按此行(列)展 r3 r r 1 1 2 2 3 3 4 4 r1r1r1 222 3 3 1 2 3 4 rrr 222 r rr 1 1 0 0 1 1 2 2 444 333 1 0 1 2 DD D 3 3 1 1 0 0 3 1 1 0 1 1 1 1 2 2 0 0 5 1 2 0 5 5

77 00 11 44 7 0 1 4 11 00 11 22 1 0 1 2 3 3 1 1 0 0 3 1 1 0 1 1 7 7 0 0 2 5 7 0 2 2 5 5r1 1 1 r2 2 2 rr r r r3 3 222 2 2 rr3 r2 r r

77 11 44 7 1 4 6600 22 6 0 2 (( 1)( 1)) 222 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( 1)()( 1) 333 1 1 2 1 1 2 1 1 7 7 2 5 7 2 2 5 5 9 9 0 0 1 9 0 1 1 1 ( 1) 2 2 6 2 6 18 24 9 1

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1 1 例 3 讨 论 当 k 为 何 值 时 0 01111 00 00 1 1 0 0 r2 2 1 1 rr2 r1 r r 1 1 kkk 1 1 0 0 1 1 0 解 解 解 解 0 0 0 0 kkk 2 2 0 0 2 0 0 0 0 2 2 kkk 0 0 2

1 k 0 0

0 1 k 2

0 0 0 2 k

11 11 00 00 1 1 0 0 0 0 kkk 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 kkk 2 2 0 0 2 0 0 0 0 2 2 kkk 0 0 2

k 1 1 0 k 1 1 0 k 2 k 2 2 2 0 k 2 ((k 1)) 0 k 2 k 1 (k 1 )(k 4 ) (k 1 )(k 4 ) 2 k 2 k 0 2 k 0 2 k1 1 所 以 当 k 1 且 k 2 时 0 0 1 k 0 0 0 1 k 2 0 0 0 2 k

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