第二讲 函数的单调性与最值(8)

含答案

8.解 设－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝

axax x1－1x2－1

a x2－x1 x1x2＋1 ＝. x1－1 x2－1

2∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，x21－1<0，x2－1<0.－1<x1x2<1，

∴x1x2＋1>0. x2－x1 x2x1＋1 ∴ x1－1 x2－1

因此，当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，此时函数在(－1,1)上为减函数； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，此时函数在(－1,1)上为增函数. B组

1.B 2.B 3.C 4.(－∞，0)∪(1,3] 5.a>0且b≤0 6.[1，＋∞) 7.①③④

8.解 (1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2， 则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数， ∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) f x1 ＋f －x2 ＝(x1－x2)，

x1＋ －x2

f x1 ＋f －x2

由已知得>0，x1－x2<0，

x1＋ －x2 ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[－1,1]上单调递增. (2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，

1

∴ －1≤x21，

1 －1≤ x－11.

11

x＋，2x－1

3

∴－x<－1.

2

(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增. ∴在[－1,1]上，f(x)≤1. 问题转化为m2－2am＋1≥1， 即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立.

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