第三节 微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式 四、小结 思考题
一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t )是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ,求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为
T2
T1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s (t ) v(t ).T1
T2
二、积分上限函数及其导数[a , b] 上连续， 设函数 f ( x ) 在区间 并且设考察定积分 x 为[a , b]上的一点，
x
a
f ( x )dx f ( t )dta
x
如果上限x 在区间 [a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它 在[a , b]上定义了一个函数，记为
( x ) f ( t )dt , 称为积分上限函数。a
x
积分上限函数的性质定理1 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 数 ( x )
d x 是 ( x ) f ( t )dt f ( x ) a dx证 ( x x )
x
a
f ( t )dt 在[a , b]上具有导数， 且它的导数(a x b)
x x
a
y f ( t )dt
( x x ) ( x )
( x )
x x
a
f ( t )dt f ( t )dt o a
x
a
x
x x b
x
f ( t )dt a
x
x x x
f ( t )dt f ( t )dta
x
x x x
f ( t )dt ,
y
由积分中值定理得
( x )
x x x b x o a f ( ) x 介于x与x x之间
f ( ), x
lim lim f ( ) x 0 x x 0 ( x ) f ( x ).
x 0, x
补充
b( x ) 可导， 如果 f ( t ) 连续，a( x ) 、
则
d b( x ) f (t )dt f b( x ) b ( x ); dx d f ( t )dt f a( x ) a ( x ); dx a x d b( x ) f ( t )dt f b( x ) b ( x ) f a( x ) a ( x ). dx a x
证
F ( x)
b( x )
0
a( x )
f ( t )dt0
a( x )
b( x )
0
f (t )dt a( x ) 0
b( x )
f ( t )dt
f ( t )dt ,
F ( x ) f b( x ) b ( x ) f a( x ) a ( x )
例1
求
limx 0
1
cos x
e dt2
t2
x
.
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t2 d cos x t 2 解 e dt e dt , dx cos x dx 1 e cos2 x1
(cos x ) sin x e
cos2 x
,
limx 0
cos x
e dt2
t2
x
sin x e lim x 0 2x
cos2 x
1 . 2e
例2
设 f ( x ) 在( , )内连续，且 f ( x ) 0.x 0 x 0
证明函数 F ( x ) 加函数.
tf ( t )dt f ( t )dt
在(0, )内为单调增
证
d x d x tf ( t )dt xf ( x ), f ( t )dt f ( x ), dx 0 dx 0F ( x ) xf ( x )
f ( t )dt f ( x ) tf ( t )dt0 x x
x
0
f ( t )dt
0
2
F ( x )
f ( x ) ( x t ) f ( t )dt
x
0
x
0
f ( t )dt
2
,
f ( x ) 0, ( x 0)x 0
f ( t )dt 0,0
x
( x t ) f ( t ) 0, ( x t ) f ( t )dt 0,
F ( x ) 0 ( x 0).故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
例3
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明
2 x f ( t )dt 1在[0,1]上只有一个解.0
x
证 令F ( x ) 2 x
x
0
f ( t )dt 1,
f ( x ) 1, F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,F (1) 1 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,1 0 1
所以F ( x ) 0 即原方程在 [0,1] 上只有一个解.
定理2(原函数存在定理)如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) 原函数.
x
a
f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b]上的一个
定理的重要意义： (1)肯定了连续函数的原函数是存在的.
(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
三、牛顿—莱布尼兹公式(Newton-Leibnitz Formula)
定理 3(微积分基本公式)
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数，则证x
b
a
f ( x )dx F (b ) F (a ) .
已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
a
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
令 x a a a
F ( a ) ( a ) C ,
(a ) f ( t )dt 0 F (a ) C ,
F ( x ) f (t )dt C ,a
x
x
a
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
令 x b
b
a
f ( x )dx F (b) F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b a
微积分基本公式表明：一个连续函数在区间 [a , b] 上的定积分等于 [a , b] 上的增量. 它的任意一个原函数在区间
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意当 a b 时，
b
a
f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立.
例4
求
2
0
(2cos x sin x 1)dx . 2
解
原式 2 sin x cos x x 0
2 2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) , 求 f ( x )dx. 0 1 x 2 y 5
3 . 2
解
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