新教材人教A版高中数学必修第一册1.5.1全称量词与存在量词精品学

1． 5.1 全称量词与存在量词

1．能够记住全称量词和存在量词的概念．

2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．

1

2. 存在量词与存在量词命题

1． x> 2是命题吗？对任意的 x∈R， x> 2是命题吗？

[ 答案] x> 2不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R， x> 2则是命题

2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？

[ 答案] 命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不定含有全称量词

3．判断正误( 正确的打“√”，错误的打“×”)

(1) 在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( )

(2) “三角形内角和是180°”是存在量词命题．( )

(3) “有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．( )

(4) 内错角相等是全称量词命题．( )

[ 答案] (1) × (2) × (3) √ (4) √

题型一全称量词命题与存在量词命题

【典例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

(1) 凸多边形的内角和等于360°；

(2) 有的力的方向不定；

(3) 矩形的对角线不相等；

2

(4) 存在二次函数 y＝ax ＋bx＋c 与 x 轴无交点．

[ 思路导引] 找命题中的量词及其命题的含义．

[ 解] (1) 可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题．

(2) 含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．

(3) 可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．

(4) 含有量词“存在”，是存在量词命题．

判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

[ 针对训练] 1．用全称量词或存在量词表示下列语句

(1) 不等式 x2＋x＋1>0 恒成立；

1 2 1

(2) 当 x 为有理数时，3x2＋2x＋ 1 也是有理数；

32

(3) 方程3x－2y＝10 有整数解；

(4) 若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

[ 解] (1) 对任意实数 x，不等式 x2＋x＋1>0 成立．

1 2 1

(2) 对任意有理数 x，3x2＋2x＋ 1 是有理数．

(3) 存在一对整数 x，y，使3x－2y＝10 成立．

(4) 若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.

题型二判断全称量词命题的真

【典例2】判断下列全称量词命题的真假．

(1) 任意实数的平方均为正数．

(2) 函数 y＝ kx＋ b 为一次函数．

(3) 同弧所对的圆周角相等．

(4) ? x∈R， x2＋3≥3.

[ 解] (1) 假命题．若这个实数为0，则其平方为0 ，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．

(2) 假命题．当 k＝0 时， y＝ kx＋ b 不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋

b 为

一次函数”是假命题．

(3) 真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．

(4) 真命题．? x∈R， x2≥0，故有 x2＋3≥3成立．

判断全称量词命题真假的方法要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．

[ 针对训练]

2．判断下列全称量词命题的真假．

(1) 对每一个无理数 x， x2也是无理数．

(2) 末位是零的整数，可以被 5 整除．

(3) ? x∈R，有| x＋1|>1.

[ 解] (1) 因为2是无理数，但( 2) 2＝2 是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x， x2也是无理数”是假命题．

(2) 因为每一个末位是零的整数，都能被 5 整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被 5 整除”是真命题．

(3) 当x＝0时，不满足| x＋1|>1 ，所以“ ? x∈R，有| x＋1|>1 ”为假命题．题型三

存在量词命题真假的判断

【典例3】判断下列存在量词命题的真假．

(1) 有的集合中不含有任何元素．

(2) 存在对角线不互相垂直的菱形．

2

(3) ? x∈R，满足3x2＋2>0. 4

4 有些整数只有两个正因数．

[ 解] (1) 由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．

(2) 由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．

(3) ? x∈R，有3x5＋2>0，因此存在量词命题“ ? x∈R,3x2＋2>0”是假命题．

(4) 由于存在整数3只有正因数1和3. 所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数” 为真命题．

判断存在量词命题真假的方法

判断存在量词命题“ ? x∈ M，p( x) ”的真假性的关键是探究集合M中 x的存在性．若找

到一个元素 x∈M，使 p( x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使 p(x) 成立，则该命题是假命题．

[ 针对训练]

3．判断下列存在量词命题的真假．

(1) 有些二次方程只有一个实根．

(2) 某些平行四边形是菱形．

(3) 存在实数 x1、 x2，当 x1x22.

[ 解] (1) 由于存在二次方程 x －4x＋4＝0 只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．

(2) 由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱

形”是真命题．

(3) 当 x1＝－2， x2＝1 时有 x12>x22，故“存在实数 x1、 x2，当 x1x22”为真命题.

题型四含有量词的命题的应用

【典例4】已知命题“ ? 1≤ x≤2， x2－ m≥0”为真命题，求实数 m的取值范围．

2

[ 解] ∵“ ? 1≤x≤2， x2－ m≥0”成立，

2

∴ x2－ m≥0对1≤x≤2恒成立．

22

又 y＝x2在1≤ x≤2上 y 随 x 增大而增大，∴ y＝ x2－ m的最小值为1－m. ∴1－

5

∴ x2－m≥0在1≤x≤2有解．

又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，

∴函数y＝x 在1≤x≤2上的最大值为 2 ＝ 4.

m≥0. 解得 m≤1.

∴实数 m的取值范围是{m| m≤1} ．

[ 变式] 若把本例中的“ ? ”改为“ ? ”，其他条件不变，求实数 m的取值范围．

2

[ 解] ∵“ ? 1≤x≤2， x2－ m≥0”成立，

∴ 4－ m≥0，即 m≤4.

∴实数 m的取值范围是{m| m≤4} ．

求参数范围的 2 类题型

(1) 全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．

(2) 存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在” 等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，

结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定

了假设．

[ 针对训练]

4．是否存在实数 m，使不等式 m＋x2－2x＋5>0 对于任意 x∈R恒成立，并说明理由．[解] 不等式 m＋x2－2x＋5>0 可化为

22

m>－x ＋2x－5＝－(x－1) －4.

要使 m>－(x－1)2－4 对于任意 x∈R恒成立，只需 m>－4即可．

故存在实数 m使不等式 m＋x2－2x＋5>0 对于任意 x∈R恒成立，此时需 m>－4.

5．若存在一个实数 x，使不等式 m－ x2－2x＋5>0 成立，求实数 m的取值范围．

[ 解] 不等式 m－( x2－2x＋5)>0 可化为 m>x2－2x＋ 5.

令 t ＝x2－2x＋5，若存在一个实数 x 使不等式 m>x2－2x＋5 成立，只需 m>t min.

2

又 t ＝(x－1) ＋4，∴ t min＝4，∴ m>4.

所以所求实数 m的取值范围是{m| m>4}．

课堂归纳小结1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p( x) 都为真；代入法：在给定的集合

内找出一个 x，使 p( x) 为假，则全称量词命题为假．

3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题

p(x) 为真，否则命题为假.

1．下列命题中，不是全称量词命题的是( )

A．任何一个实数乘0 都等于0

B．自然数都是正整数

C．对于任意 x∈Z, 2x＋ 1 是奇数

D．一定存在没有最大值的二次函数

[ 解析] D 选项是存在量词命题．

[ 答案] D

2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被 6 整除的数也能被 3 整除；④任意 x∈R，y∈R，都有 x2＋| y|>0.

A．0 B．1

C． 2 D．3

[ 解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被 6 整除的数也能被 3 整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有 1 个存在量词命题．

[ 答案] B

3．下列命题是“ ? x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是( )

A．有一个 x∈R，使得 x2>3

2

B．对有些 x∈R，使得 x2>3

C．任选一个 x∈R，使得 x2>3

D．至少有一个 x∈R，使得 x2>3

[ 解析] “ ? x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．

[ 答案] C

4．对任意 x>8， x>a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_______ ．

[解析] ∵对于任意 x>8，x>a恒成立，∴大于8 的数恒大于 a，∴a≤8.

[ 答案] a ≤8

5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．

(1) ? x∈R，| x| ＋2≤0；

2

(2) 存在一个实数，使等式 x2＋x＋8＝0 成立；

(3) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对( x， y)都对应一点．

[ 解] (1) 存在量词命题．

∵ ? x∈R，| x| ≥0，∴ | x| ＋2≥2，不存在 x ∈R，

使| x|＋2≤0.故命题为假命题．

(2) 存在量词命题．

2 1 2 31

∵ x ＋ x＋8＝ x＋2＋4>0，∴命题为假命题．

(3) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．

课后作业( 八)

复习巩固

一、选择题

1．下列量词是全称量词的是( ) A．至少有一个B．存在

C．都是D．有些

[ 答案] C

2．下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小

说，也能搞发明创造；

④任何一个数除0，都等于0. 其中全称量词命题的个数是( )

A． 1 B．2

C． 3 D．4

[ 解析] ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．

[ 答案] C

3．下列命题是存在量词命题的是( )

A．一次函数的图象都是上升的或下降的

2

B．对任意 x∈R，x2＋ x＋1<0

C．存在实数大于或者等于 3 D．菱形的对角线互相垂直

[ 解析] 选项A，B， D 中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．[ 答案] C 4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )

A．? x∈R，x2>0 B．? x，y∈R， x2＋y2>0

22

C．? x∈Q， x2∈Q D．? x∈Z，使 x2>1

[ 解析] 首先 D 项是存在量词命题，不符合要求； A 项不是真命题，因为当 x ＝0 时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当 x＝ y＝0 时，x2＋y2＝0；只有 C 项是真命题，同时也是全

称量词命题．

[ 答案] C

5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )

A．斜三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数 x，使 x678>0

C．任意无理数的平方必是无理数

1

D．存在一个负数 x ，使>2

x

[ 解析] 只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且 A 显然为真命题．因为2是

[ 解析] 命题“任意一个不大于0 的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0 的数，它的立方就小于等于0，用“ ? ”符号可以表示为? x≤0，x3≤0.

3

[ 答案] ? x≤0，x3≤0

7．给出下列四个命题：

7

①y＝x? xy＝1；②矩形都不是梯形；③ ? x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的

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