中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题

中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题

【前言】

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，

第一部分 真题精讲

【例1】（2010，密云，一模）

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

ADN

BMC（1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得

出结果。 【解析】

解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DE∥AB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．

ADN

BEMC∵AB∥DE，AB∥MN．

∴DE∥MN． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴

MCNC?． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ECCD10?2tt50?．解得t?． 10?3517

∴

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】

（2）分三种情况讨论：

① 当MN?NC时，如图②作NF?BC交BC于F，则有MC?2FC即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵sin?C?∴cos?C?DF4?， CD53， 53t， 5∴10?2t?2?解得t?25． 8

ADN

BMFC② 当MN?MC时，如图③，过M作MH?CD于H． 则CN?2CH，

3∴t?2?10?2t??．

5∴t?60． 17ADNH

CBM③ 当MC?CN时， 则10?2t?t．

t?10． 3256010、或时，△MNC为等腰三角形． 8317综上所述，当t?【例2】（2010，崇文，一模）

在△ABC中，∠ACB=45o．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

BC?3，（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】：

（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：?AB=AC ，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90o， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD．

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。

（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．

理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD

【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x，

CPCDCPx??， 易证△AQD∽△DCP，∴ ， ∴

DQAQ4?x4AFBGD

ECx2?CP???x．

4②点D在线段BC延长线上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． 过A作AG?AC交CB延长线于点G， 则?AGD??ACF．? CF⊥BD，

?△AQD∽△DCP，∴DQ?AQ ， ∴

x2?CP??x．

4CPCDCPx?， 4?x4【例3】（2010，怀柔，一模）

△MBC已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，点M是AD的中点，

是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设

PC?x，MQ?y，求y与x的函数关系式；

（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

B

P 60° Q M

A

D

C

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】

（1）证明：∵△MBC是等边三角形 ∴MB?MC，∠MBC?∠MCB?60? ∵M是AD中点 ∴AM?MD ∵AD∥BC

∴∠AMB?∠MBC?60?，

∠DMC?∠MCB?60?

∴△AMB≌△DMC ∴AB?DC

∴梯形ABCD是等腰梯形．

∠MBC?∠MCB?60?，（2）解：在等边△MBC中，MB?MC?BC?4，

∠MPQ?60?

∴∠BMP?∠BPM?∠BPM?∠QPC?120? (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)

∴∠BMP?∠QPC ∴△BMP∽△CQP ∴

PCCQ? BMBP∵PC?x，MQ?y ∴BP?4?x，QC?4?y ∴

x4?y12? ∴y?x?x?4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 44?x4【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： △PQC为直角三角形 ∵y?12?x?2??3 4∴当y取最小值时，x?PC?2

∴P是BC的中点，MP?BC，而∠MPQ?60?， ∴∠CPQ?30?， ∴∠PQC?90?

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不

是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】2010，门头沟，一模

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF?BD交BC于F，连接DF，CG． G为DF中点，连接EG，（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

CG，（2）将图1中?BEF绕B点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF中点G，连接EG，．

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中?BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

ADGEB图1CEFB图3CAGEFDAD

CFB图2 【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1）CG?EG

（2）（1）中结论没有发生变化，即CG?EG．

证明：连接AG，过G点作MN?AD于M，与EF的延长线交于N点． 在?DAG与?DCG中，

?ADG??CDG，DG?DG， ∵AD?CD，∴?DAG≌?DCG． ∴AG?CG．

在?DMG与?FNG中，

FG?DG，?MDG??NFG， ∵?DGM??FGN，∴?DMG≌?FNG． ∴MG?NG

在矩形AENM中，AM?EN 在Rt?AMG与Rt?ENG中， MG?NG， ∵AM?EN，∴?AMG≌?ENG． ∴AG?EG． ∴EG?CG

AMGEFDNC

B图2 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍然成立．

AGEFD

B图3C

【例5】（2010，朝阳，一模）

已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．

BE=1 时，CF=______cm， CEBE（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；

CEBE（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的

CE（1）当

面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

D

C

A

B

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。 【解析】

（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） （2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M， ∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴ ∵

BEAB?． CEFC图1

BE=2， ∴ CF=3． CE∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F．

又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF． 设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k． 在Rt△ADM中，由勾股定理得：

k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=∴ sin∠DAB′=

135． ∴ DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法） 22DM5?； AM13②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N， 同①可得NA=NE．

设NA=NE=m，则B′ N=12-m． 在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得

15． 2B?N39∴ B′ N=． ∴ sin∠DAB′=?．

2AN518x（3）①当点E在BC上时，y=；

x?1m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=

图2

（所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长） ②当点E在BC延长线上时，y=

18x?18． x【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

第二部分 发散思考

【思考1】2009，石景山，一模

已知：如图（1），射线AM//射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE?EC，且AD?DE?AB?a． （1）求证：?ADE∽?BEC；

（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD?BC?CD；

（3）设AE?m，请探究：?BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示?BEC的周长；若无关，请说明理由．

第25题（1） 第25题（2） 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】2009，西城，二模

△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0?＜∠PBC＜180°， 且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，

（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；

（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．

【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下

【思考3】2009，怀柔，二模

如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=

3． 5点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN． （1）当BO=AD时，求BP的长；

（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；

（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】2009，北京

在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90 得到线

B

O N C

P M B

（备用图）

C

A

D

A

D

段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=

4,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，SP1FC1=y，求y与x之间的函3数关系式，并写出自变量x的取值范围.

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

（1）证明：∵ DE?EC，∴ ?DEC?90?．∴ ?AED??BEC?90?． 又∵ ?A??B?90?，∴ ?AED??EDA?90?． ∴ ?BEC??EDA．∴ ?ADE∽?BEC． （2）证明：如图，过点E作EF//BC，交CD于点F，

1(AD?BC)． 21 在Rt?DEC中，∵ DF?CF，∴ EF?CD．

211 ∴ (AD?BC)?CD．

22 ∵ E是AB的中点，容易证明EF? ∴ AD?BC?CD．

第25题

（3）解：?AED的周长?AE?AD?DE?a?m，BE?a?m． 设AD?x，则DE?a?x．

∵ ?A?90?，∴ DE2?AE2?AD2．即a2?2ax?x2?m2?x2．

∴ x?a2?m2 2a．

由（1）知?ADE∽?BEC，

a2 ∴ ?ADE的周长?m2?BEC的周长?ADBE?2a?a?m． a?m2a ∴ ?BEC的周长?2aa?m??ADE的周长?2a． ∴ ?BEC的周长与m值无关．

【思考2答案】

解：（1）∠BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD．

解一：∵ 点D在∠PBC的平分线上， ∴ ∠1=∠2．

∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA， ∴ BP=BC． ∵ BD= BD， ∴ △PBD≌△CBD．

∴ ∠BPD=∠3．- - - - -- - 3分 ∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD， ∴ △BCD≌△ACD． ∴ ?3??4?12?ACB?30?． ∴ ∠BPD =30°． 解二：∵ △ABC是等边三角形，

APB12D34C图8

∴ BA =BC=AC． ∵ DB=DA，

∴ CD垂直平分AB． ∴ ?3??4??ACB?30?． ∵ BP=BA， ∴ BP=BC．

∵ 点D在∠PBC的平分线上，

∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称． ∴ ∠BPD=∠3． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150° ． 图形见图9、图10．

DPAA12AP或DBC

【思考3解析】

解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB= ∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6， ∴AD=EC=BC－BE=3．

当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP

BCBC图9 10 PD3得BE=3． 5BH39?cosB3??． ∵,∴BH=BO5518 ∴BP=．

5（2）不存在BP=MN的情况- 假设BP=MN成立，

∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC.

过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB, ∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC- 设BO=x，则PO=x,由∴BP=2BH=

BH33?cosB?，得BH=x, x556x. 51824x，PQ=x． ∴BQ=BP×cosB=2525187x?x． ∴OQ=x?252524xPQDC29425??∵△PQO∽△DOC，∴即，得x?． 76?xOQOC6x25A P H B

Q O M D

当x?29629时，BP=x=＞5=AB，与点P应在边AB上不符， 655∴不存在BP=MN的情况.

N C

（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分 情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤

【思考4解析】

解：（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直． 证明：如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H．

∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，

7.-------8分 3，EG1?EP，EF?EC． ∴?PEG11??CEF?90°1?90°??PEF∵?G1EF?90°??PEF，?PEC， 111∴?G1EF??PEC． 1∴△G1EF≌△PEC． 1∴?G1FE??PCE． 1∵EC⊥CD，

B

A E C P2 图1 G1

F G2 P1 H D

?90°， ∴?PCE1∴?G1FE?90°． ∴?EFH?90°． ∴?FHC?90°． ∴FG1⊥CD．

②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴?B??ADC．

4， 34tan?EBC?tanB?． ∴DE?5，3tanB?∵AD?6，AE?1，可得CE?4．

由（1）可得四边形EFCH为正方形． ∴CH?CE?4．

①如图2，当P1点在线段CH的延长线上时，

B G1 F A E C 图2 G1 F A B 图3 P1 H D ，PH?x?4， ∵FG1?CP1?x1∴S△P1FG1?1x(x?4)?FG1?PH?． 122E C H D P1 12∴y?x?2x(x?4)．

2②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，

，PH?x?4， ∵FG1?CP1?x1∴S△P1FG1?∴y??1x(4?x)FG1?PH?． 12212x?2x(0?x?4)． 2③当P1点与H点重合时，即x?4时，△PFG11不存在．

综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y?12x?2x(x?4)或21y??x2?2x(0?x?4)．

2

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