2018年中考数学一模试题(含解析)

2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷

一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A．y=2x B．y=2x﹣2 C．y=ax D．2．如果向量、、满足+=（﹣A．

B．

C．

2

2

），那么用、表示正确的是（ ）

D．

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（ ） A．

B．2sinα C．

D．2cosα

4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ） A．

B．

C．

D．

5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（ ）

A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15

6．如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（ ） A．y=x+2

二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）

7．已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 cm． 8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= ． 9．已知||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ． 10．如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= ． 11．如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 ．

2

2

B．y=x﹣2x﹣1 C．y=x﹣2x D．y=x﹣2x+1

222

12．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ．

13．如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= ．

14．二次函数y=（x﹣1）的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么y1 y2（填“＞”、“=”或“＜”）

15．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 米．

2

16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．

17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是 ．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么

= ．

三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）

19．计算：2cos30°﹣sin30°+

2

．

20．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F； （1）求（2）如果

的值； =，

=，求向量

；（用向量、表示）

21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3； （1）求证：△ADC∽△BAC； （2）当AB=8时，求sinB．

22．如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：

坡度 最大高度（米） 1：20 1.50 1：16 1.00 1：12 0.75 （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由； （2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥

AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G； （1）求证：AC=2CF；

（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC?CF．

24．已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；

（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．

25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M； （1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；

（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．

2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．【考点】二次函数的定义．

【分析】根据二次函数的定义形如y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数． 【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意； B、是一次函数，故B错误；

C、a=0时，不是二次函数，故C错误； D、a≠0时是分式方程，故D错误； 故选：A．

【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数．

2．如果向量、、满足+=（﹣A．

B．

C．

），那么用、表示正确的是（ ）

2

2

D．

【考点】*平面向量．

【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案． 【解答】解：∵ +=（﹣∴2（+）=3（﹣∴2+2=3﹣2， ∴2=﹣2， 解得： =故选D．

【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握一元一次方程的求解方法是解此题的关键．

﹣．

），

），

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（ ） A．

B．2sinα C．

D．2cosα

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=

，代入求出即可．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2， ∴sinA=∴AB=故选A．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=

4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ） A．

B．

C．

D．

，cosA=

，tanA=

．

， =

，

【考点】平行线分线段成比例；平行线的判定；相似三角形的判定与性质．

【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．

【解答】解：

只有选项C正确， 理由是：∵AD=2，BD=4，∴

=

=，

=，

∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC，

∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC，

根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC， 故选C．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（ ）

A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15

【考点】三角形的重心．

【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，根据勾股定理求出AC、AE，判断即可． 【解答】解：∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G， ∴点G是△ABC的重心，

∴AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4， ∵AD⊥CE， ∴AC=AE=∴AB=2AE=4

=2

=10，A正确；

，

，B错误；

∵AD⊥CE，F是AC的中点， ∴GF=AC=5， ∴BG=10，C正确； BF=15，D正确，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．

6．如果抛物线A：y=x﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（ ） A．y=x2+2

B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+1

2

2

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．

【解答】解：抛物线A：y=x﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线C：y=x﹣2x+2=（x﹣1）

2

2

2

+1的顶点坐标是（1，1）．

则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C．

所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x． 故选：C．

【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．

二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）

7．已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 2【考点】比例线段．

【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解． 【解答】解：∵线段a=3cm，b=4cm， ∴线段a、b的比例中项=故答案为：2

．

=2

cm．

cm．

【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数．

8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= 【考点】黄金分割．

﹣1 ．

【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是计算即可．

【解答】解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA， ∴PB=解得，AB=

AB， +1， +1﹣2=﹣1．

﹣1，

∴PA=AB﹣PB=故答案为：

【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．

9．已知||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ﹣2 ． 【考点】*平面向量．

【分析】根据向量b向量的模是a向量模的2倍，且和反向，即可得出答案． 【解答】解：||=2，||=4，且和反向， 故可得： =﹣2． 故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了平面向量的知识，关键是得出向量b向量的模是a向量模的2倍．

10．如果抛物线y=mx+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= 2 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据图象上的点满足函数解析式，可得答案． 【解答】解：由抛物线y=mx+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，得 ﹣m+2=0． 解得m=2， 故答案为：2．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把原点代入函数解析式是解题关键．

11．如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 a＞3 ． 【考点】二次函数的最值．

【分析】由于原点是抛物线y=（a+3）x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以

2

2

确定a的范围．

【解答】解：∵原点是抛物线y=（a﹣3）x2﹣2的最低点， ∴a﹣3＞0， 即a＞3． 故答案为a＞3．

【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．

12．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 y=﹣x2+4（0＜x＜2） ． 【考点】函数关系式．

【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．

【解答】解：设剩下部分的面积为y，则： y=﹣x+4（0＜x＜2），

故答案为：y=﹣x2+4（0＜x＜2）．

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．

13．如果抛物线y=ax﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= 3 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而求出x的值． 【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax﹣2ax+1， ∴抛物线的对称轴方程为x=1，

∵图象经过点A（﹣1，7）、B（x，7）， ∴∴x=3， 故答案为3．

【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出抛物线的对称轴，

=1，

2

2

2

此题难度不大．

14．二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么y1 ＜ y2（填“＞”、“=”或“＜”）

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】把两点的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解． 【解答】解：当x=3时，y1=（3﹣1）2=4， 当x=时，y2=（﹣1）2=y1＜y2， 故答案为＜．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函数解析式求出相应的函数值是解题的关键．

15．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 4 米．

，

【考点】相似三角形的应用．

【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质有将相关数据代入计算可得．

【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE， ∴CD∥AB， ∴△CDE∽△ABE， ∴

=

，即

=，

=

，

解得：AB=4， 故答案为：4．

【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= 4 ．

【考点】梯形中位线定理．

【分析】根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得． 【解答】解：∵EF是梯形ABCD的中位线， ∴EF∥AD∥BC， ∴DG=BG，

∴EG=AD=×2=1， ∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4． 故答案是：4．

【点评】本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．

17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是 1：4 ．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵AT是△ABC的角平分线， ∵点M是△ABC的角平分线AT的中点， ∴AM=AT，

∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC， ∴△ADE∽△ACB， ∴

=（

）=（）=1：4，

2

2

故答案为：1：4．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么

=

．

【考点】旋转的性质．

【分析】根据直角三角形的性质得到BC=AB，根据旋转的性质和平行线的判定得到AB∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°， ∴∠BAC=30°， ∴BC=AB，

由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AB′=AB，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°， ∴∠BAC′=90°， ∴AB∥B′C′， ∴∴

==，

=

=，

∵∠BAC=∠B′AC， ∴

=

=，又

=，

∴=，

故答案为：．

【点评】本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．

三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19．计算：2cos230°﹣sin30°+【考点】特殊角的三角函数值．

【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：原式=2×（=1+

+

．

）﹣+

2

．

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

20．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F； （1）求（2）如果

的值； =，

=，求向量

；（用向量、表示）

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；*平面向量． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=5、AB∥EC，证△FEC∽△FAB得

=

=；

（2）由△FEC∽△FAB得质及向量可得

=

=

=，

=

=

，从而知FC=BC，EC=AB，再由平行四边形性，最后根据向量的运算得出答案．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，DE=2，CE=3， ∴AB=DC=DE+CE=5，且AB∥EC， ∴△FEC∽△FAB， ∴

（2）∵△FEC∽△FAB， ∴

=

，

=

=；

∴FC=BC，EC=AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，EC∥AB， ∴∴则

===

+=， ==，

=．

=

，

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3； （1）求证：△ADC∽△BAC； （2）当AB=8时，求sinB．

【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

【分析】（1）作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，

从而得，结合∠C=∠C，可证得△ADC∽△BAC；

，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE=CD=1，由勾股定理

（2）由△ADC∽△BAC得

求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得． 【解答】解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，

∵===，

∴BD=3CD=6， ∴CB=CD+BD=8， 则∴

=，，

，

∵∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC；

（2）∵△ADC∽△BAC， ∴

，即

，

∴AD=AC=4， ∵AE⊥BC， ∴DE=CD=1， ∴AE=∴sinB=

=

=．

，

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

22．如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：

坡度 最大高度（米） 1：20 1.50 1：16 1.00 1：12 0.75 （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由； （2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】（1）计算最大高度为：0.15×10=1.5（米），由表格查对应的坡度为：1：20； （2）作梯形的高BE、CF，由坡度计算AE和DF的长，相加可得AD的长． 【解答】解：（1）∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米， ∴最大高度为0.15×10=1.5（米），

由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是1：20； （2）如图，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F， ∴BE=CF=1.5，EF=BC=2， ∵∴

==， ，

∴AE=DF=30，

∴AD=AE+EF+DF=60+2=62，

答：斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为62米．

【点评】本题考查了坡度坡角问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角

形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，利用三角函数的定义列等式即可．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G； （1）求证：AC=2CF；

（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD=AC?CF．

2

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【分析】（1）由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB证△ABE∽△FCE得根据AB=AC即可得证；

（2）由∠1=∠B证△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可证△ACD∽△DCF得CD=AC?CF． 【解答】证明：（1）∵BD=DE=EC， ∴BE=2CE， ∵CF∥AB， ∴△ABE∽△FCE， ∴

=2，即AB=2FC，

2

=2，即AB=2FC，

又∵AB=AC， ∴AC=2CF；

（2）如图，

∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD， ∴△DAG∽△BAD， ∴∠AGD=∠ADB， ∴∠B+∠2=∠5+∠6， 又∵AB=AC，∠2=∠3， ∴∠B=∠5， ∴∠3=∠6， ∵CF∥AB， ∴∠4=∠B， ∴∠4=∠5， 则△ACD∽△DCF， ∴

，即CD2=AC?CF．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外角性质和平行线的性质得出三角形相似所需要的条件是解题的关键．

24．已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；

（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）﹣1，把（0，3）代入可得a=1，即可解决问题．

（2）首先证明∠ADB=90°，求出BD、AD的长即可解决问题． （3）由△PDB∽△ADP，推出PD2=BD?AD=3

=6，由此即可解决问题．

2

【解答】解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3）， ∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1， 把（0，3）代入可得a=1， ∴抛物线的解析式为y=x﹣4x+3．

（2）令y=0，x﹣4x+3=0，解得x=1或3， ∴C（1，0），D（3，0）， ∵OB=OD=3， ∴∠BDO=45°，

∵A（2，﹣1），D（3，0）， ∴∠ADO=45°， ∴∠BDA=90°， ∵BD=3

，AD=

，

2

2

∴S△ABD=?BD?AD=3．

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°， ∴∠DBP=∠APD，

∵∠PDB=∠ADP=135°， ∴△PDB∽△ADP， ∴PD2=BD?AD=3∴PD=∴OP=3+∴点P（3+

， ， ，0）．

=6，

【点评】本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法．三角形的面积、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．

25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M； （1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；

（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）首先证明△ABE∽△ADF，推出

=

，推出

=

，因为∠BAD=∠EAF，即

可证明△AEF∽△ABD．

（2）如图连接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四点共圆，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC=x，由此即可解决问题．

（3）分两种情形①如图2中，当点E在线段CB上时，②如图3中，当点E在CB的延长线上时，分别列出方程求解即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF=90°， ∴∠BAD=∠EAF，

∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°， ∴△ABE∽△ADF， ∴∴

==

，

，∵∠BAD=∠EAF，

，由△ABE∽△ADF，得

=

，得DF=

∴△AEF∽△ABD．

（2）解：如图连接AG．

∵△AEF∽△ABD， ∴∠ABG=∠AEG， ∴A、B、E、G四点共圆， ∴∠ABE+∠AGE=180°， ∵∠ABE=90°，

∴∠AGE=90°， ∴∠AGM=∠MDF， ∴∠AMG=∠FMD， ∴∠MAG=∠EFC， ∴y=tan∠MAG=tan∠EFC=∵△ABE∽△ADF， ∴

=

，

，

∴DF=x，

∴y=，

即y=

（0≤x≤4）．

（3）解：①如图2中，当点E在线段CB上时，

∵△AGM∽ADF， ∴tan∠MAG=

=

，

∴=，

解得x=．

②如图3中，当点E在CB的延长线上时，

由△MAG∽△AFD∽△EFC， ∴

=

，

∴=，

解得x=1，

∴BE的长为或1．

【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新初中教育2018年中考数学一模试题(含解析)全文阅读和word下载服务。