第三章 3.1 3.1.2 第2课时
请同学们认真完成 [练案21]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
??1??1．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f????＜f(1)的实数x的取值范围是( C ) x????
A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1)
B．(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
?1?解析：由已知得：??＞1，∴－1＜x＜0或0＜x＜1，故选C． x??
2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( A ) A．f(x)＝
x＋1
xB．f(x)＝x－3x D．f(x)＝－|x|
11
＝1－，函数y＝－在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)x＋1x＋1x＋1
2
C．f(x)＝3－x 解析：因为f(x)＝＝
x?3?2
在(0，＋∞)上是增函数，故A符合题意．函数f(x)＝x－3x在?0，?上单调递减，在x＋1?2?
x?3，＋∞?上单调递增，故B不符合题意．函数f(x)＝3－x在(0，＋∞)上是减函数，故C不?2???
符合题意．函数f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是减函数，故D不符合题意．故选A．
3．已知函数f(x)在R上是增函数，若a＋b>0，则下列结果中正确的是( A ) A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)>f(－a)－f(－b) C．f(a)＋f(－a)>f(b)－f(－b) D．f(a)－f(－a)>f(b)＋f(－b)
解析：∵f(x)在R上为增函数，又a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－
a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
4．函数y＝x－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( B ) A．10,5 C．5,1
2
2
2
2
B．10,1 D．12,5
解析：因为y＝x－2x＋2＝(x－1)＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1；当x＝－2时，ymax＝(－2－1)＋1＝10.故选B．
5．函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数，且最小值为－2，最大值为1，那么|f(x)|在[－3，－1]上( C )
A．最小值为－2，最大值为1
B．最小值为0，最大值为1 C．最小值为0，最大值为2 D．最小值为－2，最大值为0
解析：可用排除法去掉A，D，再利用绝对值的性质排除B． 二、填空题(每小题5分，共15分)
312
6．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x－4x＋3中的较大者，则f(x)的最
22小值是__2__.
31
解析：由x＋－(－x＋3)＞0得：x＞1.
22由x－4x＋3－(－x＋3)＞0得：
2
x＞3或x＜0.
?31?2
由x－4x＋3－?x＋?＞0得：
?22?
x＞5或x＜. 12
??－x＋3，0＜x≤1，
则f(x)＝?
31??2x＋2，1＜x≤5.
x2－4x＋3，x≤0或x＞5，
结合图像得：f(x)min＝f(1)＝－1＋3＝2.
7．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若f(a＋2a－2)≤f(a－3a＋3)，则实数
2
2
a的取值范围是__[1，＋∞)__.
解析：本题考查利用函数的单调性解不等式．因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且f(a＋2a－2)≤f(a－3a＋3)，所以a＋2a－2≥a－3a＋3，解得a≥1，所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．
8．已知f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在[1,5]上的最大值为f(1)，则a的取值范围是__(－∞，－2]__.
解析：f(x)＝x＋2(a－1)x＋2＝(x＋a－1)－(a－1)＋2，函数图像是对称轴为直线x＝1－a，开口向上的抛物线．
当1≤1－a<3，即－2
三、解答题(共20分)
2
2
2
2
2
2
2
2
9．(10分)已知函数f(x)＝
x－1
，x∈[3,5]． x＋2
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)f(x)在[3,5]上为增函数，证明如下： 设任取x1，x2∈[3,5]且x1
x1－1x2－13x1－x2
f(x1)－f(x2)＝－＝.
x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2
∵3≤x1
∴x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
42
(2)由(1)可知f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝.
7510．(10分)已知函数f(x)＝x－2x＋2. 1
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
2
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
2
?1?22
解：(1)f(x)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1，x∈?，3?，
?2?
15
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又因为f()＝，f(3)＝5，
24所以f(x)的最大值是f(3)＝5，
1
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
2
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x－(m＋2)x＋2在[2,4]上是单调函数， ∴
2
m＋2
2
≤2或
m＋2
2
≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分) 1??，x≥1，
1．函数f(x)＝?x??－x2＋2，x＜1A．1 1
C． 2
x的最大值是( B )
B．2 1D． 3
1
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为
f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可
得，f(x)的最大值为2.故选B．
2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( C ) A．2 C．2或－2
B．－2 D．0
解析：当a＞0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递增， ∴ymin＝a＋1，ymax＝2a＋1， ∴2a＋1－a－1＝2， ∴a＝2.
当a＜0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递减， ∴ymin＝2a＋1，
ymax＝a＋1，
∴a＋1－2a－1＝2， ∴a＝－2. 综上可知a＝±2.
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是( CD ) A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a) B．
1
fx在[a，b]上有最小值f(a)
C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－c D．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
解析：A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数
1
fx在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无
法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确．
??1，x为有理数，
4．狄利克雷是德国著名数学家，函数D(x)＝?
?0，x为无理数?
被称为狄利克雷函数，
下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论中正确的是( CD )
A．若x是无理数，则D[D(x)]＝0 B．函数D(x)的值域是[0,1] C．D(－x)＝D(x)
D．若T≠0且T为有理数，则D(x＋T)＝D(x)对任意的x∈R恒成立
解析：对于A，∵当x为有理数时，D(x)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，∴当x为有理数时，D[D(x)]＝D(1)＝1；当x为无理数时，D[D(x)]＝D(0)＝1，即不管x是有理数还是无
理数，均有D[D(x)]＝1，故A不正确；对于B，函数D(x)的值域为{0,1}不是[0,1]，故B不正确；对于C，∵有理数的相反数还是有理数、无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有D(－x)＝D(x)，故C正确；对于D，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D(x＋T)＝D(x)对任意的x∈R恒成立，故D正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为__－4__.
解析：因为y＝6－x在区间[2,4]上是减函数，y＝－3x在区间[2,4]上是减函数，所以函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上是减函数，所以f(x)max＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.
6．函数f(x)＝解析：f(x)＝
3x(x＞0)的值域为__(0,1]__.
x＋x＋1
2
3x＝x＋x＋1
2
3
≤1
x＋＋1231x·＋1
＝1，
xx1
当且仅当x＝＝1时取等号．
x又f(x)＞0，所以0＜f(x)≤1， 故函数f(x)的值域为(0,1]． 四、解答题(共10分)
7．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围； (3)若x∈[t，t＋2]，试求y＝f(x)的最小值． 解析：(1)∵f(x)是二次函数，且f(0)＝f(2)， ∴f(x)图像的对称轴是直线x＝1.
又f(x)的最小值为1，则可设f(x)＝k(x－1)＋1. ∵f(0)＝3，∴k＝2.
∴f(x)＝2(x－1)＋1＝2x－4x＋3. (2)要使f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调， 1
则2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜. 21
故实数a的取值范围是(0，)．
2
(3)由(1)知，y＝f(x)图像的对称轴为直线x＝1. 若t≥1，则y＝f(x)在[t，t＋2]上是增函数，
2
2
2
ymin＝f(t)＝2t2－4t＋3；
若t＋2≤1，即t≤－1，则y＝f(x)在[t，t＋2]上是减函数，
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