概率中的“有序”和“无序”

概率中的“有序”和“无序”

江苏省 仓万林 刘燕楠

通常认为只有在排列组合中才要考虑顺序，由于概率问题中许多要转化为排列或者组合数比值的结构，同样要分析“有序”还是“无序”。有许多问题,从“有序”和“无序”的角度均可以解决，同时联系在学习中出现的实际情况，出了差错后同学们往往无从检验.

一、“有序”“无序”两相宜

例题 某产品中有7只正品，3只次品，每次取1只测试，求经过5次测试，3只次品恰好全被发现的概率.

分析 设事件A:经过5次测试后3只次品恰好全被发现. 化为“有序”模型

“5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有A10种等可能的基本事件，“3只次品恰好全被发现”指5件中恰有3只次品,且第5只产品为第3只次品,共有

C?C?A种,所以P(A)?2723445C7?C3?A4A105224?120

化为“无序”模型

在问题中,从实际效果来看,前4次测试的顺序并不重要,从而

P(A)?C7?C3?C1C510221?C16?120.

可有可无的顺序问题,在实际处理时,不求“明察秋毫”, 但求“标准统一”. 二、错把“有序”当“无序”

例题 从6双规格相同而颜色不同的手套中任取4只,求其中恰有2只成双的概率. 错解 设事件A:4只手套中恰有2只成双.

6双手套中任取4只,所有的取法有C12种,而4只手套中恰有2只成双的取法如下:

4从6双中任取1双,第三只再从剩余的5双中任取1只,有C10种方法,同理第4只有C8种方

11法,所以P(A)?32336C10C8C12411?3233.

思考 已接近于1,果真有那么大吗?

不妨按照同一思路,从完备性的角度分析一下: 4只手套可细分为以下几种互斥的情形:恰成2双、恰有2只成双、任意2只不成双.

设事件B:4只手套中任意2只不成双,则P(B)?题了.为什么会出现这一明显错误的答案呢?

仔细分析一下,不难发现, 在事件A中取手套时,第三只从剩余的5双中任取1只,有

C10(相当于从剩余5双中取定1双,再定左右手)种方法,实际上有了次序要求,属于重复型

1C12C10C8C6C4121111?12811?1,显然出问

错误.

正确的解法为P(A)?6C5C2C2C412211?1633.

从上面的问题中还可以看出，概率中 “有序”和“无序”出了差错，要比排列组合中更具有迷惑性.问题的价值还在于提供了一种检验的方法，也就是教学当中除了教会解决问题的方法外，还应该教会学生一种常见的纠错的途径：从完备性的角度检验，而这正是我们在平时教和学中所容易忽略的，应该引起重视.