立体几何专题:球的组合体
一、棱锥的内切、外接球问题
例1.正四面体的棱长为a，则其外接球和内切球的半径是多少？
例2．设棱锥M?ABCD的底面是正方形，且MA?MD，MA?AB， 如果?AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
练习：一个正四面体内切球的表面积为3?，求正四面体的棱长。
二、球与棱柱的组合体问题
1.正方体的内切球：
球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。
如图3，截面图为正方形EFGH的内切圆，得R?图3
图4
图5 图2
a； 2 2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R?
2a。 2（第1页）
3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得R?A1O?3a。 2例3.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且
PA?PB?PC?a,那么这个球的表面积是______.
练习：一棱长为2a的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。
练习：正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：42R）
【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。
2图6
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练习题：
1、 已知三棱锥P?ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA、PB、PC两
两垂直，当PCAB取最大值时，三棱锥O?PAB（O为球心）的高为_____。
2、 在平行四边形ABCD中，ABBD?0，2|AB|2?|BD|2?6，若将?ABD沿BD折
成直二面角A?BD?C，则三棱锥A?BCD外接球的表面积是____。
3、 在四面体A?BCD中，AB?CD?4，BC?AC?AD?BD?5，则此四面体外
接球的表面积为________。
4、 如果长方体ABCD?A1BC11D1的顶点都在半径为9的球O的球面上，那么长方体
ABCD?A1BC11D1的表面积的最大值是_________。
5、 已知SC为球O的直径，A、B为该球面上的两点，AB?2，?ASC??BSC??，4若棱锥A?SBC的体积为43，则球O的体积为___。 329的球面上，且AC?BD?13， 26、 已知A、B、C、D四点均在半径为 AD?BC?5，AB?CD，则三棱锥D?ABC的体积为_______。
7、 在三棱锥S?ABC中，AB?BC，AB?BC?2，SA?SC?2，AC的中点
为M，?SMB的余弦值为3，若S、A、B、C在同一个球面上， 3则该球的表面积为_______。
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8、 已知三棱锥P?ABC的各个顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，
PO?面ABC，
AC?3，则三棱锥的体积与球的体积之比为___。 BC9、 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，
其高为_________。
10、已知三棱锥S?ABC所有的顶点都在球O的球面上，SA?面ABC，
SA?23，AB?1，AC?2，?BAC?60?，则球O的表面积为_______。
11、已知三边长分别为4、5、6的?ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，
P为球面上一点，若点P到?ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥
P?ABC的体积为______。
12、已知三棱锥P?ABC中，?BPC?90?，PA?面BPC，其中AB?10，
BC?13，AC?5，P、A、B、C四点均在球O的球面上，则球O的表面
积为_________。
13、已知三棱锥P?ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两
垂直，则三棱锥P?ABC的侧面积的最大值为________。
14、在矩形ABCD中，AB?4，BC?3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角
B?AC?D，则四面体ABCD外接球的体积为________。
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