浙江省高考数学（理科）考前必考题型过关练：专题七+解析几何（7份）专题7 第38练

第38练 圆锥曲线中的探索性问题

[内容精要] 本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大．

题型一 定值、定点问题

x2y21

例1 已知椭圆C：2＋2＝1经过点(0，3)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交

ab2椭圆于A、B两点． (1)求椭圆C的方程；

→→→→

(2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λAF，MB＝μBF，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 破题切入点 (1)待定系数法．

(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系→→→→

式，然后根据向量关系式MA＝λAF，MB＝μBF.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值． c1

解 (1)依题意得b＝3，e＝＝，a2＝b2＋c2，

a2x2y2

∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.

43(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在， 又F坐标为(1,0)，设直线l方程为

y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)， 设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，

??y＝k?x－1?，由?x2y2 ??4＋3＝1，

消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 解得

8k2＋64k4－4?3＋4k2??4k2－12?x1＝，

2?3＋4k2?8k2－64k4－4?3＋4k2??4k2－12?x2＝，

2?3＋4k2?4k2－128k2

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

3＋4k23＋4k2

→→

又由MA＝λAF，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)， x1x2∴λ＝，同理μ＝，

1－x11－x2

x1＋x2－2x1x2x1x2

∴λ＋μ＝＋＝

1－x11－x21－?x1＋x2?＋x1x2

2?4k2－12?8k2

－3＋4k23＋4k2

＝

8

＝－. 2324k－128k

1－＋3＋4k23＋4k2

8

所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－. 3题型二 定直线问题

例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； (2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

破题切入点 假设符合条件的直线存在，求出弦长；利用变量的系数恒为零求解． 解 方法一 (1)依题意，点N的坐标为N(0，－p)， 可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为y＝kx＋p，

?x2＝2py，?与x2＝2py联立得?

??y＝kx＋p.

消去y得x2－2pkx－2p2＝0. 由求根公式得

2pk－?－2pk?2＋8p2x1＝，

22pk＋?－2pk?2＋8p2x2＝，

2则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.

1

于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2|

2＝p|x1－x2|＝p＝p?x1＋x2?2－4x1x2

k2＋2，

4p2k2＋8p2＝2p2∴当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，

AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H， x1y1＋p

则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为(，)．

2211

∵|O′P|＝|AC|＝

22

21x21＋?y1－p?＝2

2

y21＋p，

?y1＋p?1

|O′H|＝?a－?＝|2a－y1－p|，

2?2?

∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2 1122

＝(y21＋p)－(2a－y1－p) 44p

＝(a－)y1＋a(p－a)，

2

p

∴|PQ|2＝(2|PH|)2＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．

2pp令a－＝0，得a＝，

22

此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在， p

其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线．

2方法二 (1)前同方法一，再由弦长公式得 |AB|＝＝

1＋k2|x1－x2|

1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2

＝＝2p1＋k2·4p2k2＋8p2 1＋k2·k2＋2，

2p1＋k

.

又由点到直线的距离公式得d＝1

从而S△ABN＝·d·|AB|

21＝·2p2＝2p21＋k2·k2＋2·

2p1＋k

2

2

k2＋2.

∴当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a， 则以AC为直径的圆的方程为 (x－0)(x－x1)－(y－p)(y－y1)＝0，

将直线方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0， 则Δ＝x21－4(a－p)(a－y1) p

＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．

2

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则有|PQ|＝|x3－x4|＝ ＝2p

4[?a－?y1＋a?p－a?]

2

p

?a－?y1＋a?p－a?.

2

pp令a－＝0，得a＝，

22

此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在， p

其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线．

2题型三 定圆问题

例3 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为

3

，两个焦点分别为F1和2

F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.

(1)求椭圆G的方程； (2)求△AkF1F2的面积；

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由． 破题切入点 (1)根据定义待定系数法求方程． (2)直接求．

(3)关键看长轴两端点．

??2a＝12，x2y2

解 (1)设椭圆G的方程为2＋2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则?c3ab

＝，??a2

所以b2＝a2－c2＝36－27＝9. x2y2

所以所求椭圆G的方程为＋＝1.

369(2)点Ak的坐标为(－k,2)，

11

S△AkF1F2＝×|F1F2|×2＝×63×2＝63.

22

??a＝6，

解得?

??c＝33，

(3)若k≥0，由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k>0，可知点(6,0)在圆Ck外； 若k<0，由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k>0，可知点(－6,0)在圆Ck外． 所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G. 即不存在圆Ck包围椭圆G.

总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． (3)定直线问题一般都为特殊直线x＝x0或y＝y0型．

x22

1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋y＝1有两个不

2同的交点P和Q. (1)求k的取值范围；

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