《常微分方程》答案 习题5.3

习题5.3

1、 假设A是n?n矩阵，试证：

a) 对任意常数c1、c2都有

exp(c1A+c2A)=expc1A·expc2A

b) 对任意整数k,都有

(expA)=expkA

(当k是负整数时，规定(expA)＝[(expA)

证明：a) ∵（c1A）·（c2A）＝（c2A）·（c1A）

∴ exp(c1A+c2A)= expc1A·expc2A b) k>0时，(expA)＝expA·expA……expA ＝exp（A+A+……+A）

＝expkA k<0时，-k>0

(expA)＝[(expA)

k?1kk?1k]

?k)

]

?k=[exp(-A)]

?k = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A)

＝exp[(-A)(-k)] ＝expkA

故?k，都有(expA)=expkA

2、 试证：如果?(t)是x=Ax满足初始条件?(t0)＝?的解，那么

'k?(t)＝[expA(t-t0)]?

-1

证明：由定理8可知?(t)＝Ф(t)Ф(t0) ?＋Ф(t)??-1(s)f(s)ds

tt0又因为Ф(t)= expAt , Ф(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0, 又因为矩阵 （At）·（- At0）=（- At0）·（At）

-1

所以 ?(t)＝[expA(t-t0)]?

3、 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量

i

?2?33????12?4?53?a）? b）?? ?43????4?42???

10??121??0????1?11001c）?? d）?? ?201???6?11?6?????

解：a）det（?E－A）=

??1?4?2??3=(?－5)(?+1)=0

∴?1=5, ?2=－1

????, (??0) ??2??对应于?1=5的特征向量u=?????对应于?2=－1的特征向量v=??????, (??0)

??

b) det（?E－A）=(?+1)(?+2)(?－2)＝0

∴?1＝－1，?2＝2，?3＝－2

?1???对应于?1＝－1的特征向量u1＝??1?， （ ??0 ）

?0????1???对应于?2＝2的特征向量u2＝??1?， （ ??0 ）

?1????0???对应于?3＝－2的特征向量u3＝??1?， （ ??0 ）

?1???

??1c）det（?E－A）=?1?2?1?1＝(?+1)2(?－3)＝0 ??1??10?2 ∴?1＝－1（二重），?2＝3

ii

??1???对应于?1＝－1（二重）的特征向量u＝??2?， （ ??0 ）

??2????2???对应于?2＝3的特征向量v＝??1?, （ ??0 ）

?2???

??1d) det（?E－A）=0?60?1=(?+3)(?+1)(?+2)=0 11??6 ∴?1＝－1，?2＝－2，?3＝－3

?1??? 对应于?1＝－1的特征向量u1＝???1?， （ ??0 ）

?1????1??? 对应于?2＝－2的特征向量u2＝???2?， （ ??0 ）

?4????1??? 对应于?3＝－3的特征向量u3＝???3?， （ ??0 ）

?9???

4、 试求方程组x=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：

a）??'??21??12??? b）??43?? ?12?????2?33??103?????c）?4?53? d）?81?1?

?4?42??51?1?????解：a）det（?E－A）=0得?1＝3，?2＝－3

对应于?1的特征向量为u＝??1???， （ ??0 ） ??2?3?? iii

对应于?2的特征向量为v＝??1???， （ ??0 ） ??2?3??∴u＝??1??1????，v＝是对应于?1，?2的两个线性无关的特征向量 ????2?3??2?3????是一个基解矩阵 ?3t?(2?3)e?e?3t3t3t3t?eФ(t)=??(2?3)e?3t1???(2?3)e ExpAt=

23??e?

?(2?3)e??e?3t3te(2?3)e3t3t?e??? ?3t??(2?3)e?3tb) 由det（?E－A）=0得?1＝5，?2＝－1

解得u＝????，v＝???1??2??1??是对应于?1，?2的两个线性无关的特征向量 ???1??e5t则基解矩阵为Ф(t)＝?5t?2e?e?t?? ?t??e?1??3? 1???3??1??11?－13Ф(0)＝??2?1?? Ф(0)＝?2?????3－1

1?e5t?2e?t则expAt＝Ф(t) Ф(0)＝?5t?t3??2e?2e

e5t?e?t??

5t?t?2e?e? c） 由det（?E－A）=0得?1＝2，?2＝－2，?3＝－1

?e2t?2t 解得基解矩阵Ф(t)＝?e?e2t?

0e?2te?2te?t???te? 0???1?11???－1

0? Ф(0)＝??11?01?1????e2t?2t－1?2t 则expAt＝Ф(t) Ф(0)＝?e?e?e2t?e?2t?

iv

?e2t?e?t?e2t?e?2t?e?t?e2t?e?2te2t?e?t??2t?te?e? e2t??d）由det（?E－A）=0得?1＝－3，?2＝2＋7，?3＝2－7

???3t??3e? 解得基解矩阵Ф(t)＝7e?3t???4e?3t?则expAt＝Ф(t) Ф

－1

e(2?7)t47?5(2?7)te31?7(2?7)te3??e(2?7)t??47?5(2?7)t? e?31?7(2?7)t??e3?(0)＝

??87?3t?2?47(2?7)t2?47(2?7)t???e?e?e333??1?567?3t122?287(2?7)t?122?287(2?7)t?e?e?e?? 99947??32726?27?26?27??3t(2?7)t(2?7)t?e?e?e??999??

5、试求方程组x=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件?(0)??的解?(t)

'?1a)A???4??1?b)A??8?5??1?c)A??1?2?

2??3??????3??3????03??0????1?1?????2?

??7?1?1????21??1?????11????0??0?01?????e5t 解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为?5t?2e? ????3?????2??????????

?????? 所以??2,e?t?? ?t??e??3?????????1

?2e5t?e?t?? ?(t)???4e5t?e?t?

??

v

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