第一节 不定积分的概念与性质

经济数学---微积分教案

第一节 不定积分的概念与性质

教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。 教学重点：原函数与不定积分的概念。 教学难点：原函数的求法。 教学内容：

一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果对任一x?I，都有F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。

2例如：(sinx)??cosx，即sinx是cosx的原函数。[ln(x?1?x)??11?x2，即

ln(x?1?x2)是

11?x2的原函数。

原函数存在定理：

定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一x?I，有F?(x)?f(x)。 评注：⑴如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。

设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)?C]??f(x)，即F(x)?C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。

⑵如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即

F(x)?G(x)?C （C为常数）

⑶ 如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)?C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。

定义2 若函数F(x)?是f(x) 在区间I上?的一个原函数，则表达式F(x)?C（其中C为任意常数）称为f?x?在区间I上的不定积分? 记作

1

?f(x)dx?

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其中

?称为积分号，f?x?称为被积函数，f?x?dx称为被积表达式，x称为积分变量。

x32例1：因为 ()??x， 得

3x3?xds?3?C

2例2：因为，x?0时，(lnx)??111(?x)??，得 ；x?0时，[ln(?x)]??x?xx(ln|x|)??11，因此有?dx?ln|x|?C xx例3：设曲线过点(1,2)，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。 解：设曲线方程为y?f(x)，其上任一点(x,y)处切线的斜率为

2从而y?2xdx?x?C

dy?2x dx?由y(1)?2，得C?1，因此所求曲线方程为y?x2?1 由原函数与不定积分的概念可得：

df(x)dx?f(x)dx?,

d?f(x)dx?f(x)dx,

?F?(x)dx?F(x)?C

?dF(x)?F(x)?C ?dx?x?C

二、基本积分公式表

x??11) ?kdx?kx?C (k为常数)，2) ?xdx??C (???1)，3)

??1?dx?x?ln|x|?C

4)

dx?1?x2arctanx?C， 5)

?dx1?x2arcsinx?C， 6）

?cosxdx?sinx?C

7）

?sinxdx??cosx?C，8）

?dx2?sec?cos2x?xdx?tanx?C，9）

dx2?sin2x??cscxdx??cotx?C

xx10）secxtanxdx?secx?C，11）cscxcotxdx??cscx?C, 12)edx?e?C

??ax?C 13)?adx?lnax2

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例4：x?22xdx??xdx?x2?C

7527三、不定积分的性质 性质1．[f(x)?g(x)]dx????f(x)dx??g(x)dx

性质2．kf(x)dx?kf(x)dx， （k为常数，k?0） 例5：求 解：

??2x(x2?5)dx

5212?x(x?5)dx??(x?5x)dx

521232710210??xdx?5?xdx?x2?x2?C?x3x?xx?C

7373(x?1)3dx 例6：求 ?x2(x?1)3x3?3x2?3x?131dx?dx?(x?3??2)dx 解： ?22??xxxx27103x2122?x?x?C??3x?3ln|x|??C 732x例7：求

?(ex?3cosx?2xex)dx

xxxxx解：(e?3cosx?2e)dx?edx?3cosxdx?(2e)dx

????(2e)x(2e)xx?e?3sinx??C?e?3sinx??C

ln(2e)1?ln2x1?x?x2

例8：求 ?dxx(1?x2)1?x?x2(1?x2)?x11解：?dx?dx?dx?dx?ln|x|?arctanx?C 222???x(1?x)x(1?x)x1?x例9：求

?tan2xdx

222解：tanxdx?(secx?1)dx ?secxdx?dx?tanx?x?C

????例10：求

2sin?xdx 23

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解：sin

?2x1?cosx111dx??dx??dx??cosxdx?(x?sinx)?C 22222

4

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