多元函数微积分复习题

多元函数微积分复习题

一、单项选择题

1．函数f?x,y?在点?x0,y0?处连续是函数在该点可微分的 ( B )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

2．设函数f?x,y?在点?x0,y0?处连续是函数在该点可偏导的 (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

3．函数f?x,y?在点?x0,y0?处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数z?f(x,y), 下列结论正确的是 ( C ).

A. 若limx?x?A, 则必有limf(x,y)?A且有limf(x,y)?A;

0x?x0y?y0y?y0B. 若在(xz0,y0)处

??x和

?z?y都存在, 则在点(x0,y0)处z?f(x,y)可微;

C. 若在(x?z?z0,y0)处

?x和

?y存在且连续, 则在点(x0,y0)处z?f(x,y)可微;

?2z22?x2和

?z.

?2D. 若z?y2都存在, 则?x2??z?y2.

5．二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续;

C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微.

6.向量?a???3,?1,?2?,b??1,2,?1?，则a???b? (A) 3 (B) ?3 (C) ?2 (D) 2

D )

（ A ）

1

（5．已知三点M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2） ，则MA?AB = （ C ） ?? (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；

6．已知三点M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3） ，则??|MA?AB|=（ B ） (A)?2;

(B) 22;

(C)2; (D)-2;

7．设D为园域x2?y2?2ax (a?0), 化积分??F(x,y)d?为二次积分的正确方法

D是_____D____. A. ?2a0dx?a?af(x,y)dy B. 2?2a0dx?2a?x20f(x,y)dy

C. ?ad??2acos?f(?cos?,?sin?)?d? 0?a?D. ?2d??2acos?f(0?cos?,?sin?)?d?

??2

8．设I??3lnx1dx?0f(x,y)dy, 改变积分次序, 则I?______. B

A. ?ln3ey0dy?0f(x,y)dx B. ?ln3dy?3,y)dx

0eyf(x C. ?ln33 D. 30dy?0f(x,y)dx?dylnx1?0f(x,y)dx

?9． 二次积分?2d??cos?___________. D

00f(?cos?,?sin?)?d? 可以写成 A. ?1y?y2y20dy?0f(x,y)dx B. ?11?0dy?0f(x,y)dx 111x?x2 C. ?0f(x,y)dy

0dx?0f(x,y)dy D. ?dx?0

10． 设?是由曲面x2?y2?2z及z?2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分I????f(x,y,z)dxdydz表示为三次积分，I?________. C

?2 A． ?2?1?0d??0d??20f(?cos?,?sin?,z)dz

2

?2 B. ?2?0d??20d??20f(?cos?,?sin?,z)?dz C． ?2?22

0d??0d???2f(?cos?,?sin?,z)?dz2 D． ?2?0d??20d??20f(?cos?,?sin?,z)?dz

11．设L为x0y面内直线段，其方程为L:x?a,c?y?d，

则?P?x,y?dx? L （A） a （B） c

（C） 0 （D） d

12．设L为x0y面内直线段，其方程为L:y?a,c?x?d，则?P?x,y?dy?L（A） a （B） c （C） 0 （D） d

?13．设有级数?un,则lim?un?0是级数收敛的 n?1n?充分条件； (B) 充分必要条件； 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件; ?14．幂级数?nxn的收径半径R = n?1 (A) 3 (B) 0 ?15．幂级数?1n的收敛半径R? n?1nx (A) 1 (B) 0 ?? 16．若幂级数?ann?2nx的收敛半径为R，则?anx的收敛半径为 n?0n?0 (A) R (B) R2 R (D) 无法求得 ? 若limn??un?0, 则级数?un( ) D

n?1A. 收敛且和为 B. 收敛但和不一定为 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散

C ）

（ C ）

（ D ）

（ D ）

（ A ）

（ A ）3

（

(A) (C)

(C) 2 (D) 1

(C) 2 (D) 3

(C)

17.

?18. 若?un为正项级数, 则( B )

n?1???A. 若lim??un?0, 则?un收敛 B. 若?un收敛, 则?u2n收敛

nn?1n?1n?1???C. 若?u2n, 则?un也收敛 D. 若?un发散, 则lim??un?0

n?1n?1n?1n?19. 设幂级数?Cnxn在点x?3处收敛, 则该级数在点x??1处( A )

n?1A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不定

?20. 级数?sinnx(x?0), 则该级数( B )

n?1n!A. 是发散级数 B. 是绝对收敛级数

C. 是条件收敛级数 D. 可能收敛也可能发散

二、填空题

1．设f(x,y)?sinx?(y?1)ln(x2?y2)，则 fx?(0,1)?___1___.

2．设f?x,y??cosx??y?1?ln?x2?y2?，则

f'x(0,1 =____0______.

3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是

??f?x,y?dxdy???f??cos?,?sin???d?d?

DD

4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是

???f?x,y,z?dxdydz????f??cos?,?sin?,z??d?d?dz

??

5．柱面坐标下的体积元素 dv??d?d?dz

6．设积分区域D:x2?y2?a2, 且??dxdy?9?, 则a? 3 。

D7． 设D由曲线??asin?,??a所围成, 则??dxdy?32D4?a

4

8． 设积分区域D为1?x2?y2?4, ??2dxdy?6?

D9．设f?x,y?在[0， 1]上连续，如果?1?0fx?dx?3，

则?1dx?100f?x?f?y?dy=_____9________.

10．设L为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则

??x?y?ds?2 . L

．设L为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，

则 ??x?y?ds?___________. 0

L??12．等比级数?aqn(a?0)当 q?1 时，等比级数?aqn收敛.

n?1n?1?．当__??1__时，p?级数?1p是收敛的.

n?1n?14．当_________时,级数???1?n?11n?1np是绝对收敛的. ??1

15．若f(x,y)?xy?x则f1y, x(2,1)?_________.

2,

16．若f(x,y)?xy3?(x?1)arccosy22x, 则fy(1,y)?_________. 3y2

17．设u?zxy, 则du?_________. zxy?xy?ylnxdx?xlnzdy???zdz? ?18．设z?ylnx, 则

?2z1)?x2?__________.

lny(lny?x2ylnx

19. 积分?2dx?2e?y2dy的值等于_________. 1(1?e?4)0x2,

20.设D为园域x2?y2?a2, 若???x2?y2?dxdy?8?, 则a?_______. 2

D21.设I????2dxdydz, 其中?:x2?y2?z2?a2,z?0, 则I?_______. 4?3?a3

5

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