经典的微积分习题库

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

1（1）y?；

2x?9（4）y?32．求函数

?1?siny??x??0(x?0)(x?0)（2）y?logaarcsinx；

（3）y?2； sin?x1x?1?loga(2x?3)；（5）y?arccos?loga(4?x2) x?22

的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)?x,g(x)?x2；

2

（2）f(x)?cosx,g(x)?1?2sin2（4）f(x)??2；

x?1,g(x)?x?1； x?14．设f(x)?sinx证明：

（3）f(x)?x,g(x)?x0。 xf(x??x)?f(x)?2sin?x?x??cos?x?? 22??5．设f(x)?ax2?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1?x22223（1）y?x(1?x) （2）y?3x?x； （3）y?；

1?x2ax?a?x（4）y?x(x?1)(x?1)； （5）y?sinx?cosx?1 （6）y?。

27．设f(x)为定义在(??,??)上的任意函数，证明：

（1）F1(x)?f(x)?f(?x) 偶函数； （2）F2(x)?f(x)?f(?x)为奇函数。

8．证明：定义在(??,??)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设f(x) 定义在(?L,L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f(x)在(?L,0)上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）y?cos(x?2) （2）y?cos4x； （3）y?1?sin?x；

（4）y?xcosx； （5）y?sin2x （6）y?sin3x?tanx。

11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

（1）y?x3,x?sint

（2）y?au,u?x2； （3）y?logau,u?3x2?2；

（6）y?logau,u?x2?2。

（4）y?u,u?sinx?2 （5）y?u,u?x3 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）y?3(1?x)2?1

（2）y?3(x?1)；

1

2

（3）y?sin2(3x?1)

（4）y?3logacos2x。

2x（3）y?x。

2?113．求下列函数的反函数： （1）y?2sinx；

（2）y?1?loga(x?2)；

习题1—3

1．利用数列极限定义证明：如果limun?A，则lim|un|?|A|，并举例说明反之不然。

n??n??

习题1—4

?x2(x?1)1．设f(x)??

?x?1(x?1)f(x)与limf(x)； （1）作函数y?f(x)的图形； （2）根据图形求极限lim??x?1x?1（3）当x?1时，f(x)有极限吗？

2．求下列函数极限：

xxlim（1）lim； （2）； 2x?0?x?|x|x?0?|x|3．下列极限是否存在？为什么？ （1）limsinx；

x???（3）lim?x?0x。

x2?|x|（2）limarctanx；

x??

1（3）limcos；

x?0x（6）lime?x。

x???（4）lim(1?e?x)；

x??（5）lim|x?1|；

x?1x?1

习题1—5

求下列极限

?12n?11??1?lim????????1．lim?； 2. ； ?22??x???n2x???1?22?3n(n?1)nn???x2?2x?14．lim；

x?1x2?1

x2?53. lim； x?2x?33

(x?h)2?x25. lim； h?0h 6. limx?1x?1。 x?1习题1—6

1．求下列极限：

sinax（1）lim(b?0)；

x?0sinbx（2）limtanx?sinx； 3x?0x

（3）lim1?cosx；

x?0xsinxx2x?tanx（4）lim；

x?0sinx?1?（7）lim?1??；

t???t?

t

arcsinx（5）lim；

x?0x?1?（8）lim?1??x???x?2

x?3?2?（6）lim?1??；

x???x? ；

（9）lim(1?tanx)cotx；

x?0

?x?a?（10）lim??；

x???x?a?x

?x?2??（11）lim?x???x2?1???2x2?11??； （12）lim?1?2?。

x???n?n2．利用极限存在准则证明：

11?1??2???2（1）limn?2??1；

x???n??n?2?n?n??（2）数列2,2?2,2?2?2，?的极限存在； （3）lim

x2?1?1。 x?1x???习题1—7

1．当n无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？

(?1)n2n?11?cosn?1（1）2； （2）； （3）； （4）。

n?1nnn2．已知函数

11xsinx,2,,ln(1?x),ex,e?x

xx（1）当x?0时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当x???时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？

1（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？

x3．函数y?xcosx在(??,??)是是否有界？又当x???地，这个函数是否为无穷大？为什么？

4．求下列极限

1?a?a2???ann2?n!000n(|a|?1,|b|?1) （1）lim2； （2）lim； （3）lim ；

x??1?b?b2???bnx??n?2x??n?1x3(?2)n?2n4x2?1（4）lim； （5）lim； （6）lim2；

x??1x?116x?5x?1x??(?2)n?1?3n?1x?25．求下列极限：

sinx??（1）lim?ex??；

x????x?1（2）limx?cos；

x?0x（3）lim?nn??sinn?；

e?xarctanx（4）lim； （5）lim； （6）lime?xarctanx。

x??arctanxx???x??x6．下列各题的做法是否正确？为什么？

(x2?9)x2?9lim?x?9?? （1）limx?9x?9lim(x?9)x?91111?2)?lim?lim2?????0

x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?1cosx1（3）lim?limcosx?lim?0。

x??xx??x??x（2）lim(

3

7．证明：当x?0时，arcsinx~x，arctanx~x。 8．利用等价无穷小的性质，求下极限：

sin2xsin2x（1）lim； （2）lim；

x?0sin3xx?0arctanxxsinxnlim（3）lim（为正整数）；（4）。 m,nx?0(sinx)mx?0?1?cosx9．当x?1时，x3?3x?2是x?1是多少阶无穷小？

x?1110．当x???时，4是是多少阶无穷小？

x?1x11111．当x??时，sin是是多少阶无穷小？

xxx

习题1—8

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

x（1）f(x)?；

x

?x2(0?x?1)（2）f(x)??；

2?x(1?x?2)??x2(|x|?1)?|x|(x?0)（3）f(x)??； （4）?(x)??。

1(x?0)??x(|x|?1)2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。

nx2?121（1）y?2； （2）y?； （3）y?cos。 tanxxx?3x?2?ex(0?x?1)3．a为何值时函数f(x)??在[0，2]上连续？

?a?x(1?x?2)1?x2nx的连续性，若有间断点，判断共类型。 4．讨论函数f(x)?limn??1?x2n

习题1—9

1．设f(x)连续，证明|f(x)|也是连续的。

2．若f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明：连续。

3．求下列极限：

（1）limx?2x?5； （2）lim(sin2x)； （3）limx?0x?1在[a,b]上迹f(x)23?4sin5x?sin3x；

x?0sinx 4

sinx?sinaax?ab(a?0)； （4）lim； （5）limx?ax?bx?bx?asinx（7）lim2； （8）limthx；

x???x?0x?x（10）lim?x?2（6）limln(1?3x)；

x?0x3（9）lim(x?2x?1)；

x???x?2?x?22；

x?4ln(a?x)?lna（12）lim。

x?0x

（11）limx?x?xx?1x???

习题1—10

1．证明：方程x?3x?1在区间（1，2）上至少有一个根。

2．设f(x)在闭区间[a，b]上连续，x1,x2,?,xn是[a，b]内的n个点，证明：

5???[a,b]，使得

f(?)?

f(x1)?f(x2)???f(xn)

n习题2—1

1．用导数定义求下列函数的导数： （1）y?ax?b （a,b是常数）；

（2）f(x)?cosx；

（3）y?1。 x2．下列各题中假定f?(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么？ （1）lim（3）lim?x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?A； （2）lim?A，其中，f(0)?0；

x?0x?xf(x0?h)?f(x0?h)?A。

h?0h3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数：

（1）y?x2?x； （3）y?xx2

（2）y?x1.6?3x2； （4）y?；

x2?3xx5。

1，求f?(1),f?(?2)。 x5．已知函数f(x)?x，求f?(2),f?(4)。

16．自由落体运动s?gt2（g=9.8米/秒2）。

2（1）求在从t?5秒到（t??t）秒时间区间内运动的平均速度，设?t?1秒，?0.1秒，0.001秒；

（2）求落体在5秒末的瞬时速度； （3）求落体在任意时刻t的瞬时速度。

4．已知函数f(x)?

5

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