数理方程公式

数理方程公式

▲一维弦振动的初值问题：达朗贝尔公式

▲二维波动方程的柯西问题：二维泊松公式

???u22??2u22?u,(???x??,t??t2?a?x2?0) ??a2(?u?u??t??x2??y2)? ?ut?0??(x),utt?0??(x)??u??(x,y),?u??(x?at?t?0?tx,y)t?0解为：u(x,t)?12[?(x?at)??(x?at)]?12a??(?)d?

x?atu(x,y,t)??1?(?,?)d?d?▲一维弦振动的初值问题：齐次化原理

?t[2?a??2?Mat(at)?(??x)2?(??y)2]???2u?2?12u???(?,?)d?d?t?f(x,t),(???x??,t?0)??2?a?x2 2?a?Mat(at)2?(??x)2?(??y)2?1at2??ut?0?0,utt?0?0???(x?rcos?,y?rsin?)?t[]解为：u(x,t)?1tx?a(t??)2?a??00(at)2?r2rd?drf(?,?)d?d?

1at2?2a???(x?rcos?,y?rsin?)0x?a(t??)?2?a??dr▲一维弦振动的初值问题：达朗贝尔公式+齐次化原理

00(at)2?r2rd??▲三维波动方程的柯西问题：三维泊松公式

??2u22?u?t?f(x,t),(???x??,t?0?2?a?x2) ??u222???a2(?u?u?u?ut?0??(x),utt?0??(x)??t??x2??y2??z2) 解为：

??u??(x,y,z),?u??(x,y,tx?a(t??)?t?0?tz)t?0u(x,t)?11x?at2[?(x?at)??(x?at)]?2a??(?)d??1??f(?,?)d?d?解为：

x?at2a0x?a(t??)

2010年12月 Lisa 1

数理方程公式

u(x,t)??t,?)?t[114?a2t???dS]?2???dS(x,y,z,t)?1SM4?atatSMuat4?a???[f(?,?,?0SMr]dSd?a(t??)?11r?a(t??)??t[4?a???rdS]?4?a???dSrSMatf(?,?,?,t?atSMrata)2???12???r??1?t [4?a2t???(x?atsin?cos?,y?atsin?sin?,z?atcos?)(at)2sin?d?d4??]aSMrdSdr(r?a(t??)???t?a)0r00r12??1f(?,?,?,t?)????(x?atsin?cos?,y?atsin?sin?,z?atcos?)(at)2sin?d?d??a4?a2t???004?a2r?atrdV

▲三维非齐次波动方程的柯西问题：三维泊松公式+推迟势

??u222▲弦振动方程的混合问题：

??a2(?u?u?u??t2??)?f(x,y,z)???x?y2?z2?2u?22u????t2?a?x2?f(x,t)?u??(x,y,z),?u ??(x,y?t?0?t,z)t?0??t?0:u??(x),?u?分解成两个问题：三维齐次波动，其解已经给出。

??t?(x) ??x?0:u???u221(t);x?l:u??2(t)??a2(?u?u?2u???t2?????x?y2?z2)?f(x,y,z,t)?u?0,?u 利用叠加原理，分解成三个问题，且u?u1?u2?u3

??t?0?t?0t?0解为：

2010年12月 Lisa 2

数理方程公式

??2u2?12?先令U(x,t)??1(t)?x2?au1?0l[?2(t)??1(t)]，再令V?u?U

??t?x2(I)?则可以用前两段的方法解出V，最后得到：?t?0:u?u1u(x,t)?V(x,t)?U(x,t) 1??(x),??(x)-----非齐次??tIC

▲一维热传导的初值问题：

?x?0,x?l:u1?0?????u2?a2?u?f(x,t??t?x2) ??2u2??2?a2?u2?f(x,t)?ut?0??(x)??t2?x2解为：

(II)??t?0:u?u2?0,2?0-----非齐次Eq ?2t??)2??t?(x??)a2t?x?0,x?l:uu(x,t)?14d??1f(?,?)?(x?2?0?2a?t??(?)e??2a???e4a2(t??)d?d?0??t?????u2?2??2u2?(x??)?32?u3特别地，??a2?u??t?x2，解为：u(x,t)?12d?

2?a??t?x2?0???(?)e4at?u??t?0??(x)2a?t(III)??t?0:u?u33?0,?0-----非齐次 ??tIB

?x?0:u

?3??1(t);x?l:u3??2(t)▲一维热传导方程的混合问题：分离变量法

???u2(I)的解法：分离变量法

?2?u???t?a?x2?u(0,t)?u(l,t)?0 (II)的解法：先用分离变量法求解w，再用齐次化原理。

??u(x,0)??(x)?(III)?的解法：把非齐次边界条件通过未知函数的适当变换化为齐次即可。

2010年12月 Lisa 3

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▲格林函数：G(M,M0)?镜像法：

球：G(M,M0)?14?rMM0▲Laplace算子：

?g(M,M0)

极坐标(r,?):

114?rMM012?ln1?1R1?u?

球坐标(r,?,?):

?u?r22?1?ur?r?1?ur22??2

4??0RMM1?12?14?r圆：G(M,M0)?rMM0lnR11?0RMM12?ln

?u?替换。

柱坐标(r,?,z):

1?r2注意：圆与球相似，但在二维时，作?1r?r(r2?u?r)?12?rsin???(sin??u??)?122?u22rsin???调和函数的积分表达式：对于在Ω+Г上有连续一阶偏导数的调和函数u，它在区域Ω内/外/Г上任一点M0的值，可以通过下面的积分表达式，用这函数及其法向导数在区域边界Г上的数值来表示。

?u?

1?r?r(r?u?r)?1?ur22??2??u?z22

u(M0)????

???? in?0, M0 1?u?(ur?)dS??2?u(M0), M0 ?

?nr?n?4?u(M), M out00??1

2010年12月 Lisa 4

数理方程公式

▲n阶Legendre函数： ▲ 调和函数的极值原理；调和函数的强极值原理：略

n?n(x)?12n!nd[(x?1)]dxnn2Laplace方程差分格式的极值原理：略

热传导方程的极值原理：设u(x,t)在矩形R:{??x??,0?t?T}上连续，并

2n阶k次连带Legendre函数：

k?n,k(x)?(1?x)?22(k)n且在矩形内部满足热传导方程

?u?t(x)

?a2?u?x2，则它在矩形的两个侧边(x??及

连带Legendre函数的两个递推公式：

1x??，0?t?T)及底边(t?0，??x??)上取到其最大值和最小值。

▲三维空间球内的调和函数的球谐展开：(n?1)?n?1,k?(2n?1)?n,k?n?n?1,k?(2n?1)k(1?x)2?n,k?112rRnn?n?1,k?2x?n,k??n?1,k?(2k?1)(1?x)?n,k?1

▲X''??X?0略

T'??T?0解为：T(t)?Ce??t22…… （包括球面上，r?R）

三维空间球外的调和函数的球谐展开：Rrn?1n?1……

T''?2bT'??T?0解为：T(t)?e?bt(Acos?t?Bsin?t)

其中????b

?(n?1)2f''?n?1rf'?0?f''f'??n?1r解为：f'?Cr?f????

R''?rR'??R?0解为：设R(r)?Cr??代入方程求解，略。

2010年12月 Lisa 5

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