第12-13讲留数(2)

解: sin z 1在整个复平面上解析， π 令 sin z 1 = 0得全部零点：z = + 2kπ (k = 0,±1,±2, ) 2 因为 (sin z 1)' | z = π + 2 k π = 0 , (sin z 1)' ' | z = π + 2 k π ≠ 02 2

所以 z =

π2

+ 2 kπ全为 sinz - 1的二阶零点。

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1 定理5.3: 若 0是 (z)的 阶 点 z0是 定理 的 阶 点 m 零 . z f m 极 f (z)证明 “ ” 若z0为f (z)的m 阶极点 的

1 ( z ) ( ( z )在z0解析, 且 ( z0 ) ≠ 0 f ( z) = m ( z z0 )1 1 m ∴ = ( z z0 ) = ( z

z 0 ) mψ ( z ) f (z) (z) ( z ≠ z0 )

)

( ψ ( z )在z0解析, 且 ψ ( z0 ) ≠ 0 ).1 则 z 0是 的m阶零点. f ( z)

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1 “ ”若 z 0是 的 m 阶零点 , 则 f ( z)1 = ( z z0 ) m ( z ) f (z)

( ( z ) 在z0解析, 且 ( z0 ) ≠ 0 ).

1 1 1 ψ (z) 当z ≠ z0时，f ( z ) = = m m ( z z0 ) ( z ) ( z z0 )

( ψ ( z )在 z0 解析, 且ψ ( z0 ) ≠ 0 ).∴z0是 (z)的 阶 点 f m 极 .

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1 例5.4 考察f(z)= cos z 的孤立奇点，并指出类型。

解：奇点为cosz=0的点，zk = kπ +

π2

(k = 0,±1,±2, )

而(cos z )' | z = zk = sin( kπ + π ) ≠ 0 2 1 ∴ kπ + 2 是 cos z的一阶零点，从而是 的一阶极点。 cos zπ

说明：考察形如 的函数极点时，若Q(z)的零点不 是P(z)的零点时，由Q(z)的零点的阶数判定 P ( z ) 的极点 Q( z) 阶数；否则要另讨论。

P( z) Q( z)

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练习 求 (z) = f

z 的 点 奇 ， 2 πz (1+ z )(1+e )

如 是 点 出 的 。 果 极 指 它 阶解 显然， ± 显然，z=±i 是(1+z2)的一阶零点 的一阶零点

∵ e π z + 1 = 0, 即 e π z = 1 ∴ π z = Ln ( 1) = i (π + 2 kπ ) = ( 2 k + 1)πi 故零点为： z k = ( 2 k + 1)i∵ (1 + eπ z )'z =i ( 2 k +1)

k = 0, ± 1, ± 2,

= πeπ z

z =i ( 2 k +1)

= π [cos π (2k + 1) + i sin π (2k + 1)] = π ≠ 0∴ zk = i(2k + 1) (k = 0,±1,±2, )是1 + eπz的一阶零点

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综合 z = ± i 为 f ( z )的二阶极点 ;

z k = i ( 2 k + 1) 一阶极点 .

( k = 1, ± 2 , )为 f ( z )的

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5. 无穷远点为孤立奇点的定义、分类 无穷远点为孤立奇点的定义、定义： 若f(z)在无穷远点的某一去心邻域 D: R < Z < +∞ 定义 内解析，则称无穷远点为f(z)的孤立奇点。1 1 变换： f ( z ), 令z = , 记 (w) f( ) 设 = w w

f ( z) =

n = ∞

∑c zn

∞

n

R <| z |< ∞ ( w) =

n = ∞

∑c wn

∞

n

1 0 <| w |< R

定义5.2 称 z = ∞ 为f(z)的可去奇点、m阶极点或本性 定义 奇点，如果相应地w=0为 (w) 可去奇点、m阶极点 或本性奇点。

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结论： 若n>0时， n = 0 , 则 z = ∞ 为f(z)的可去奇点。 c 若对正整数m, c m ≠ 0 , c n = 0 ( n > m ), 则 ∞ 为f(z)的m阶极点。 若有无限多个n>0, cn ≠ 0, 则

∞ 为f(z)的本性奇点。

定理5.4 设函数f(z)在区域D: R < z < +∞ 内解析，则 z = ∞ 为f(z)的可去奇点、极点、本性奇点的充要条件是：lim f ( z ) = c or lim f ( z ) = ∞ or lim f ( z )不存在也不为 ∞z →∞ z →∞ z →∞

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