【精准解析】湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二下学期期中

- 1 - 2020年上期衡阳市八中高二年级期中考试

数学试卷

时量：120分钟 总分：150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合{}13A x N x =∈-≤<，{}1,0,2,3B =-，则A

B =（ ） A. {}0,2

B. {}1,0,2-

C. {}2

D. {}0,2,3 【答案】A

【解析】

【分析】

化简集合A ，然后直接利用交集运算得答案.

【详解】解：∵{}

{}130,1,2A x N x =∈-≤<=， {}0,2A B ∴=

故选：A.

【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题.

2. 命题“[]1,2x ?∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A. 4a ≥

B. 5a ≥

C. 3a ≥

D. 5a ≤ 【答案】B

【解析】 【分析】

先找出命题为真命题的充要条件{}4a a ≥，从集合的角度充分不必要条件应为{}4a a ≥的真子集，由选项不难得出答案.

【详解】解：[]1,2x ?∈，214x ≤≤，∴要使20x a -≤恒成立，

则2a x ≥恒成立，即4a ≥，

本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B 符合.

故选：B

【点睛】本题考查全称量词的意义与充分、必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题.

- 2 -

3. 设向量(),1a x =，()4,b x =，且a ，b 方向相反，则x 的值是（ ）

A. 2

B. 2-

C. 2±

D. 0 【答案】B

【解析】

【分析】

由a ，b 方向相反，可得λa

b ，0λ<，即(,1)x λ=(4,)x ，由此求得x 的值． 【详解】解：向量(),1a x =，()4,b x =，且a ，b 方向相反，则λa

b ，0λ<，即(,1)x λ=(4,)x ，

41x x λλ=??=?解得122x λ?=-???=-?或122

x λ?=???=?（舍去） 故2x =-，

故选：B ．

【点睛】本题主要考查相反的向量的定义，属于基础题．

4. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A. 20π

B. 24π

C. 28π

D. 32π

【答案】C

【解析】 试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．

，，所以几何体的表面积为．

- 3 - 考点：三视图与表面积．

5. 在ABC ?中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==

，则a =（ ）

A. 2

C.

【答案】D

【解析】

依题意11sin 1sin 60322

S bc A c ==??=，解得4c

=，由余弦定理得13a ==.

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出AB 边的长，再用余弦定理即可求得BC 边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.

6. 已知m=1(2)2a a a +

>-，n=221()(0)2x x -<，则m ，n 之间的大小关系是（ ） A. m>n B. m

【解析】

试题分析：由于m=11(2)222422a a a a a +>=-++≥+--，当a-2=1时取得等号，即a=3取得．而n=2222221

11()(0)220()()4222

x x x x -----∴<<=，结合指数函数的性质可知其范围(0,4),那么可知m>n,选A

考点：本试题主要考查了均值不等式的运用，求解最值．

点评：解决该试题的关键是理解不等式中求解最值时，要满足的条件是一正二定三相等得到最值的求解．

7. 已知函数()f x 是定义域为R 偶函数，且1(1)()

f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记0.5(lo

g 2)a f =，2(log 4)b f =，0.5(2)c f =，则（ ）

- 4 - A. a c b >> B. a b c >> C. b c a >> D. b a c >>

【答案】A

【解析】

【详解】∵()()

11f x f x +=，∴()()2f x f x +=，∴函数是周期为2的周期函数；∵()f x 为偶函数，()f x 在[]1,0-上是减函数，∴()f x 在[]01，上单调递增，并且

()()()0.5log 211a f f f ==-=，()()()2log 420b f f f ===，()0.52c f =，∵(

)

(

0.522021f f f =<-=<，∴a c b >>，故选A.

点睛：本题主要考查偶函数的定义，函数的单调性，首先根据()()11f x f x +=

得函数为周期函数，偶函数在其对称区间内单调性相反，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量

的值变到区间[]01，上，根据单调性去比较函数值大小.

8. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，22log ,02147,22

()f x x x x x x ?=??，若函数()(01)y f x a a =-<<有六个零点，分别记为123456,,,,,x x x x x x ，则

123456x x x x x x +++++的取值范围是（ ）.

A. 52,2?? ???

B. 2110,2?? ???

C. (2,4)

D. 103,3?? ??? 【答案】A

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解．

【详解】由题意，函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，

- 5 - 22log ,02

()147,22

x x f x x x x ???， 所以当0x <时，22log (),20()147,22

x x f x x x x ?---

因为函数()(01)y f x a a =-<<有六个零点，

所以函数()y f x =与函数y a =的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，

不妨设123456x x x x x x <<<<<，

由图知12,x x 关于直线4x =-对称，56,x x 关于直线4x =对称，

所以12560x x x x +++=，而2324log ,log x a x a =-=，

所以2324234log log log 0x x x x +==，所以341x x =，

所以343422x x x x +=，取等号的条件为34x x =，

因为等号取不到，所以342x x +>，

又当1a =时，341,22x x ==，所以3415222

x x +<+=， 所以12345652,

2x x x x x x ?

?+++++∈ ???. 故选A

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数()y f x a =-有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．

- 6 - 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）

9. 已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（ ） A. 1,43a b ??∈ ??? B. ()221,78a b +∈

C. ()12,45a b -∈-

D. 7,56a b b +??∈ ???

【答案】AC

【解析】

【分析】 通过特殊值，排除错误选项，结合不等式性质即可解答.

【详解】A 中，11115181815

b b <

C 中，1815b -<-<-，1245a b -<-<，故C 正确；

D 中，41,53a b a b b +??=+∈ ???

，故D 错误. 故选：AC.

【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，属于基础题.

10.

将曲线()23sin sin 2y x x x ππ?

?=--+ ???

上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）

A. ()g x 的图象关于直线23

x π=对称 B. ()g x 在[]0,π上的值域为30,2

??

???? C. ()g x 的图象关于点,06π?? ???

对称

- 7 - D. ()g x 的图象可由1cos 2

y x =+的图象向右平移23π个单位长度得到 【答案】ABD

【解析】

【分析】 利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简可得1sin 262

y x π?

?=-+ ???，根据三角函数伸缩变换可知()1sin 62

x g x π?

?=-+ ???，采用代入检验的方式可依次判断,,A B C 的正误；根据三角函数平移变换可判断D 的正误.

【详解

】

(

)231cos 2sin sin cos 22x y x x x x x ππ-??=-+=+ ??

?

1112cos 2sin 22262x x x π??=-+=-+ ??

?. ()1sin 62g x x π??∴=-+ ??

?， 对于A ，当23x π=时，62x ππ-=，()g x ∴关于直线23

x π=对称，A 正确； 对于B ，当[]0,x π∈时，7,666x πππ??-∈-????，1sin ,162x π????∴-∈- ???????，()30,2g x ??∴∈????，B 正确；

对于C ，当6x π

=时，06x π-=，162g π??= ???，()g x ∴关于点1,62π?? ???

对称，C 错误； 对于D ，1cos 2

y x =+向右平移23π个单位得：21cos 32y x π??=-+= ???cos 62x ππ??-- ???()11sin 262

x g x π??+=-+= ???，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查三角函数相关命题的辨析，涉及到利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数对称轴、对称中心以及值域的辨析、三角函数平移变换等知识，是对三角函数知识的综合考查.

- 8 - 11. 给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）

A. 若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4；

B. 函数()1f x x

=的单调递减区间是()(),00,-∞?+∞； C. 若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间()0,∞+上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数；

D. 1x ，2x 是()f x 定义域内的任意的两个值，且12x x <，若()()12f x f x >，则()f x 是减函数.

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可.

【详解】解：对于A ，若函数()f x 的定义域为[]0,2，

则函数()2f x 的定义域为[]0,1，故A 错误；

对于B ，函数()1f x x

=的单调递减区间是(),0-∞和()0,∞+，故B 错误； 对于C ，若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，

在区间()0,∞+上也是单调增函数，则()f x 在R 上不一定为单调增函数，故C 错误； 对于D ，为单调性的定义，正确.

故答案为：ABC.

【点睛】本题主要考查函数定义域和单调性的概念，属于基础题.

12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1BB ，CD 的中点，则（ ）

- 9 -

A. 直线1AD 与BD 的夹角为60?

B. 平面AED ⊥平面11A FD

C. 点1C 到平面11AB D 的距离为32

D. 若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对A ：通过平移使直线1AD 与BD 共面来求解；对B ：通过证明线面垂直来得到面面垂直；对C ：利用体积法求点到面的距离；对D ：作出截面可判断.

【详解】解：对A ，连结111,D B AB ，则11AD B ∠为直线1AD 与BD ，明显11AD B 为等边三角形，故A 正确；

对B ，易得11,D F AD D F AE ⊥⊥，所以1D F ⊥面AED ，所以平面AED ⊥平面11A FD ，故B 正确；

- 10 - 对C ，1111111111313111322C ABCD A B C D B ABC AB D V V V ---=-=-?????=

， 又11133222AB D S =???=， 所以点1C 到平面11AB D 的距离为11

1133233

2

AB D AB D C V S -==，故C 错误；

对D ，

，D 正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查线面角，点面距离，截面问题，面面垂直，考查空间想象能力和计算能力，是中档题.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 1sin 63πα??-= ???，则cos 23πα??- ??

?的值是______

- 11 - 【答案】79

【解析】

【分析】 设6πθα=-，则()cos 2cos 23παθ??-=- ??

?，利用诱导公式及二倍角公式即可求出. 【详解】设6π

θα=-，则6παθ=-，且1sin 3

θ=， 则cos 2cos 2363πππαθ???

???-=-- ? ??????

??? ()2cos 2cos212sin θθθ=-==-

171299

=-?= 故答案为：79

【点睛】本题考查了诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查利用换元法求值问题，属于基础题.

14. 若x y ，满足约束条件402400x y x y x y +-≥??--≤??-≥?

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