吉林省吉林市高三数学第三次模拟考试试题 理

?（ⅰ）当a?2时，??a??，g(x)?0，所以g(x)在[0,??)单调递减，而g(0)?0，所

以对所有的x≥0，g(x)≤0，即f(x)≤ax；

（ⅱ）当1?a?2时，????a??，若

x?(?,??a???a)?a??，则g(x)?0，g(x) 单调

递增，而g(0)?0，所以当

x?(0,2?a?2?a)a?1时，g(x)?0，即f(x)?ax；

?（ⅲ）当a?1时，??a??，g(x)?0，所以g(x)在[0,??)单调递增，而g(0)?0，所以

对所有的x??，g(x)?0，即f(x)?ax；

综上，a的最小值为2. ……8分（Ⅲ）由(??an??)(??an)??得，an?an?1?an?an?1，由a???得，an?0，

1所以

an?1?1?1an{，数列

1}an是以

???a?为首项，1为公差的等差数列，

故

1?nan，

an?11an?1?n，n?1 ……9分

Sn?an??n111?lnan??ln(n?1)??1??????an2(n?1)23n ?x22ln(x?1)??2xa?2x?1由（Ⅱ）知时，，x?0，

x2ln(x?1)??x2(x?1)即，x?0. ……10分 n?1111ln??x?n2n(n?1)n， n，得法一：令

即

ln(n?1)?lnn?n1111(?)?2nn?1n

???n(?)]?ln(n??)??kk???(n??)因为k???[ln(k??)?lnk? ……11分

ln(n?1)?所以

n111?1?????2(n?1)23n ……12分

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Sn?故法二：

an???lnan???an ……12分

Sn?an?????n?lnan?????????ln(n??)??an??n?(n??) ?下面用数学归纳法证明．

x2?ln(x?1)??x??ln??2(x?1)?，不等式成立 （1）当n?1时，令x?1代入，即得

?????k?????ln(k??)???k?(k??)

?n?k(k?N,k?1)时，不等式成立，即（2）假设

则n?k?1时，

??????k???????ln(k??)????kk???(k??)k??

x2?k???1ln(x?1)??x?ln?x?2(x?1)k???(k??)(k??) k?1代入令，得k??ln(k??)?k?kk?????ln(k??)??ln??(k??)k???(k??)k???(k??)(k??)

k(k??)??k???ln(k??)??ln(k??)??(k??)(k??)?(k??) ??即

???????????ln(k??)???kk???(k??)

?????n?????ln(n??)???n?(n??)对任何n?N?都成立.

由（1）（2）可知不等式

Sn?故22.解：

an???lnan???an ……12分

（Ⅰ）证明：连接BD，因为AB为⊙O的直径，所以BD?AC，又?B?90，所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，因此EB?ED，

……2分

???EBD??EDB，?CDE??EDB?90??EBD??C，所以?CDE??C，

得EC?ED，因此EB?EC，即E是BC的中点 ……5分 （Ⅱ）证明：连接BF，可知BF是Rt△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB

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ABAE?AFAB，即AB2?AE?AF， ……8分 于是有

同理可证AB2?AD?AC

所以AD?AC?AE?AF ……10分

23.解：

（Ⅰ）x??cos?，y??sin?，由?sin???cos???得?2sin2???cos?． 所以

y2?x即为曲线C的直角坐标方程； ……2分 点M的直角坐标为(0，1)， ……3分 ??直线l的倾斜角为?，故直线l的参数方程为

??x?tcos3???x??2t?4??2??y?1?tsin3??4?y?1?2t（t为参数）即?2（t为参数） ……5分

???x??2?2t?（Ⅱ）把直线l的参数方程??y?1?22t（t为参数）代入曲线C的方程得 (1?22t)2??22t，即t2?32t?2?0， ……7分

??(32)2?4?2?10?0，

???t1?t2??32设A、B对应的参数分别为t1、t2，则??t1?t2?2 ……8分 线l经过点M，故由t的几何意义得

点M到A，B两点的距离之积|MA|?|MB|?|t1||t2|?|t1?t2|?2 ……12分 24．解：

（Ⅰ）当a??时，g(x)??|x?2|(x?0)，

g(x)?|x?1|?b??b?|x?1|?|x?2| ……1分

又直

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|x?1|?|x?2|?|(x?1)?(x?2)|?1，当且仅当1?x?2时等号成立 ……4分 ，??) ……5分 实数b的取值范围是[???1?x?x?2，0?x?1?g(x)??2x?2，1?x?2?2,x?2??（Ⅱ）（Ⅱ）当a??时， ， ……7分

g(x)??当0?x?1时，

x?x????x??x????； 当x?1时，g(x)?0，当且仅当x?1等号成立； 故当x?1时，函数y?g(x)取得最小值0.

……8分

……9分 10分 - 16 -

……