毕业论文 各类积分之间的关系

目 录

1.引 言……………………………………………………………………………………………2

2.积分的概念………………………………………………………………………………………2 2.1 定积分的概念………………………………………………………………………………2 2.2 曲线积分的概念……………………………………………………………………………3 2.3 二重积分的概念……………………………………………………………………………4 2.4 曲面积分的概念……………………………………………………………………………4 2.5 三重积分的概念……………………………………………………………………………6

3.各类积分的关系…………………………………………………………………………………6 3.1各类积分的共同属性 ………………………………………………………………………7 3.2各类积分计算的一致性 ……………………………………………………………………7 3.3几个积分公式 ………………………………………………………………………………9

4.几个积分公式之间的联系………………………………………………………………………9 4.1积分公式的介绍 ……………………………………………………………………………9 4.2牛顿—莱布尼兹公式与格林公式的关系 ………………………………………………10 4.3格林公式与高斯公式的关系 ……………………………………………………………10 4.4格林公式与斯托克斯公式的关系…………………………………………………………10 4.5小结…………………………………………………………………………………………11 4.6积分公式在积分计算中的应用……………………………………………………………11

结

I

论………………………………………………………………………………………………13 参

考

文

献 …………………………………………………………………………………………14 致

谢………………………………………………………………………………………………15

II

各类积分之间关系的研究

某某,某某学院

摘 要:本文从积分的本质属性和积分计算的一致性两个方面探讨了重积分、曲

线积分、曲面积分与定积分之间的关系,进而讨论了几个重要的积分公式,即牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式以及它们之间的联系,最后通过举例说明了这几个积分公式在积分计算中的重要作用.

关键词: 定积分; 重积分; 曲线积分; 曲面积分;

牛顿-莱布尼茨公式;格林公式; 高斯公式; 斯托克斯公式

On the relationship between various types of integral

Siting Liang, School of mathematics and computer science

Abstract: This paper discusses the relationship between the triple integral, curve

integral, surface integral and definite integral from the perspective of the essence of integral and the consistency of the integral calculation. Then we discuss several important integral formulas, namely the Newton Leibniz formula, Green formula, Gauss formula, Stokes formula and the relationship between them. Finally, we explain the important roles of these integral formulas in integral calculation through some examples.

Key words: Definite integral; Triple integral; Curve integral; Surface integral;

Newton-Leibniz formula; Green formula; Gauss formula; Stokes formula.

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1.引言

微积分是数学研究中的重点课题,不定积分和定积分是两大基本问题.其中,定积分、重积分、曲线积分和曲面积分等概念都是通过实际的问题引入,最终又用于解决实际问题.各积分在计算上也存在着一致性,所有多元函数积分的计算最终都转化为计算定积分,所以研究各类积分之间的关系在数学研究中显得尤为重要.

[1]

2.积分的概念

2.1 定积分的概念 定义 1

[2]

设闭区间上?a,b?上有n?1个点,依此为

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,

它们把?a,b?分成n个小区间?i??xi?1,xi?,i?1,2,?,n.这些分点或这些闭子区间构成对?a,b?的一个分割,记为

T??x0,x1,?,xn?或??1,?2,?,?n?.

小区间?i的长度为?xi?xi?xi?1,并记T?max??xi?,称为分割T的模.

1?i?n定义2 设f是定义在?a,b?上的一个函数.对于?a,b?的一个分割T???1,?2,?,?n?,任取点?i??i,i?1,2,?n,并作和式

[2]

?f????xii?1ni.

称此和式为函数f在?a,b?上的一个积分和,也称黎曼和.

定义3 设f是定义在?a,b?上的一个函数,J是一个确定的实数.若对任给的正数

[2]

?,总存在某一正数?,使得对?a,b?的任何分割T,以及在其上任意选取的点集??i?,

只要T??,就有

?f????xii?1ni?J??,

则称函数f在区间?a,b?上可积或黎曼可积；数J称为f在?a,b?上的定积分或黎曼积分,记作

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