毕业论文各类积分之间的关系

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者的实质是一样的. 牛顿－莱布尼兹公式是格林公式的特殊情况. 4.3 格林公式与高斯公式的关系

高斯公式把一个函数在空间区域?上的积分跟一个相关联的函数在?的边界曲面?上的积分联系起来,即高斯公式把空间区域?上的三重积分转化为该闭区域边界曲面?上的曲面积分.因此高斯公式与格林公式在本质上是一样的,高斯公式是格林公式在三维空间的推广,在一定的情况下,高斯公式可以转化为格林公式.

4.4 格林公式与斯托克斯公式的关系

斯托克斯公式是把一般曲面?上的面积分转化为?的边界线上的曲线积分而格林公式把区域D上特殊的曲面积分(二重积分)转化为D的边界线上的线积分,因此可把斯托克斯公式看作格林公式在三维空间中的另一种形式的推广.在一定的情况下, 斯托克斯公式可化为格林公式. 4.5 小结

通过上面对四个积分公式之间关系的讨论可以知道,格林公式、高斯公式、斯托克斯公式均是牛顿-莱布尼兹公式在高维上的推广.

下面把四个公式之间的关系总结如图:

高斯公式

特例

格林公式

特例

推广特例

斯托克斯公式

总的来说,牛顿－莱布尼兹公式是基础,格林公式是核心,它们具有共性,即在一定条件下,沿适当几何形体边界的积分可以转换为分布于这个几何形体上的积分.同时,格林公式、高斯公式和斯托克斯公式也为曲线积分和曲面积分的计算提

[5]

推广推广牛顿-莱布尼兹公式

供了途径.

4.6 积分公式在积分计算中的应用 4.6.1 格林公式的应用

格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的线积分与它们所包围区域上的二重积分的关系:

??Q?P??Pdx?Qdy??L?????x??y??dxdy,

?D?这里L?表示沿L的正向取积分.正向指前进时D保持在左边的方向,当D为单联通时即是逆时针的方向;当D为多联通区域时,外边界为逆时针方向,内边界为顺时针方向.P、Q要求在区域D内直到边界L上连续,并有连续的偏导数.由此可得D的面积公式

S???dxdy???xdy????ydx?DLL1xdy?ydx. 2?L在很多情况下利用格林公式可以把封闭曲线上的线积分化为二重积分来计算.

例 4 计算积分

I?L?????x??y????x??y??? ???????0?,

22xdy?ydx其中L?为椭圆??x??y????x??y??1,取逆时针方向.

22解析 (用格林公式计算)上

??x??y????x??y??1,

22因此

I??xdy?ydx?2L???x??y?2???x??y?2?1??dxdy .

令u??x??y,v??x??y,作变换,则

I?2u2?v2?1??Tdxdy,

其中

J???x,y?11??.因此

???u,v??u,v????????x,y? I?2?????u?v2?12??dudv?2?.

?????4.6.2 高斯公式的应用

高斯公式在R3中给出了空间区域V上的三重积分与边界上的曲面积分的关系.利用高斯公式将曲面积分化为三重积分,由于求导,被积函数常能简化.也省得逐块地计算积分. 例 5 计算曲面积分I???Six?1y?2z?3

,其中dydz?dzdx?dxdyr3r3r3r??x?1?2??y?2?2??z?3?2,S1:?x?1?2??y?2?2??z?3?2?1,

123?1,积分沿曲面的外侧.

S2222???x?1?y?2?z?3?:??解析对于??Six?1y?2z?3dydz?dzdx?dxdy,r?333rrr?x?1?2??y?2?2??z?3?2,

取P?x?1y?2z?3Q?R?,,, r3r3r32?P?Q?R?13?x?1??????则3??x?y?z?rr5??13?y?2?2???3???rr5???1,

??13?z?3?2???3???rr5?????0. ??在S1上: r??x?1?2??y?1?2??z?1?2x?1y?2z?3dydz?dzdx?dxdy????x?1?dydz??y?2?dzdx??z?3?dxdy333??rr则S1r S1 13

????3dxdydz?4?

V在S2上:由于故??S2?P?Q?R???0,且S1围成的球体在S2围成的球体内部, ?x?y?zx?1y?2z?3dydz?dzdx?dxdy 333rrr?y?2z?3y?2z?3?x?1??x?1?dydz?dzdx?dxdy?dydz?dzdx?dxdy????333333????rrrr?S1?r?S2?S1?r?4?.

4.6.3 斯托克斯公式的应用

斯托克斯公式建立了空间曲面积分与其边界上的曲线积分的关系. 例 6 计算线积分

I?L??xdy?ydx,

其中L?为上半球面x2?y2?z2?1?z?0?与柱面x2?y2?x的交线.从z轴正向往下看, L正向取反时针方向.

解析 (球面位于柱内的部分看成是L上所张的曲面,用斯托克斯公式)

1???1? 用S?表示上半球面在柱面x2?y2?x(即：?x???y2???)的上侧.

2???2?则S?与L?成右手关系.

22??x??I???????y??dxdy?2??dxdy?2?x?y?S??S????21?2?x???y?24????1?dxdy?2?????

2?2?12结论

研究各类积分之间的关系在数学研究中十分重要.由于积分的概念大多数来自于实际的物理模型,因此积分的种类会随着实际问题的不同而不同.但积分的本

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