2015年考研数学一真题及答案解析

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0A?B??1123?2?3a1?20b300 1?3?0?a?b??1?a?4 ?????2a?b?3?b?5(II)

?02?3??100???12?3???????A???13?3???010????12?3??E?C

?1?23??001??1?23?????????12?3???1?????C???12?3????1??1?23?

?1?23??1?????C的特征值?1??2?0,?3?4

??0时(0E?C)x?0的基础解系为?1?(2,1,0)T;?2?(?3,0,1)T ??5时(4E?C)x?0的基础解系为?3?(?1,?1,1)T

A的特征值?A?1??C:1,1,5

?2?3?1???令P?(?1,?2,?3)??10?1?，

?011????1????P?1AP??1?

?5????x??2ln2,x?0,(22) (本题满分11 分) 设随机变量X的概率密度为f?x???

x?0.??0,对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数。 (I)求Y的概率分布； (II)求EY

【解析】(I)记p为观测值大于3的概率，则p?P(X?3)????312?xln2dx?，

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1n?2从而Y的概率分布为：P{Y?n}?Cnp?(n?1)()2()n?2，n?2,3,L ?1p(1?p)1878(II)：

1717

E(Y)=∑?????(??=??)=∑???(???1)?()2?()???2=∑???(???1)?()???2

88648??=2

??=2

??=2

∞

∞

∞

令：

∞

S(x)=∑???(???1)??????2 ?1

??=2∞

S(x)=∑???(???1)???

??=2

1

???2

??2′′1′′2

=(∑??)=()=(?1???+)= 1???1???(1???)3??′′??=2

∞

所以：E(Y)=64?S(7?8)=16

(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：

?1,??x?1,? f(x,?)??1???0,其他.?其中θ为未知参数，(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)E(X)?

x1,x2,L,xn为来自该总体的简单随机样本.

?????xf(x;?)dx??x??111??， dx?1??21nX??Xi为?的矩估计量；

ni?11??$?2X?1,令E(X)?X，即?X，解得?2 (II) 似然函数L(?)??f(x;?)，

ii?1nn当??xi?1时，L(?)?11n?()，则lnL(?)??nln(1??). ?1??1??i?1从而

dlnL(?)n?，关于?单调增加， d?1??$?min{X,X,L,X}为?的最大似然估计量。 所以?12n