16.2 .1二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
学习目标
1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)
2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)
教学过程
一、情境导入
小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？
二、合作探究
探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件
式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是( ) A．x≤2 B．x≥－1
C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2
??x＋1≥0，
解析：根据题意得?解得－1≤x≤2.故选C.
?2－x≥0.?
方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：二次根式的乘法
【类型一】 二次根式的乘法运算 计算： (1)
5×3
27； 125
1
(2)918×(－54)；
6(3)
331·23·(－54
1)； 6
2
(4)2a8ab·(－6a2b)·3a(a≥0，b≥0)．
3
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解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．
解：(1)原式＝
5273×＝； 31255
13
(2)原式＝－(9×)18×54＝－182×3＝－273；
623
(3)原式＝－(2×)
4
813×3×＝－562
43
＝－5； 55
2
(4)原式＝－2a×8ab·6a2b·3a＝－16a3b.
3
方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】 逆用性质3(即ab＝a·b，a≥0，b≥0)进行化简 化简： (1)196×0.25； (2)
164（－）×（－）；
981
(3)225a6b2(a≥0，b≥0)．
解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．
解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7； (2)
164
（－）×（－）＝
981
164
×＝981
1×9
64188＝×＝； 813927
(3)225a6b2＝225·a6·b2＝15a3b.
方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 二次根式的乘法的应用 小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木板，还想做一个与
它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．
解析：根据“矩形的面积＝长×宽”“圆的面积＝π×半径的平方”进行计算． 解：设圆的半径为rcm.
因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2，
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所以πr2＝168π，r＝242(r＝－242舍去)． 答：这个圆的半径为242cm.
方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
教学反思
本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点)
2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点) 3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)
教学过程
一、情境导入
计算下列各题，观察有什么规律？ (1)(2)
36
＝________；499
＝________；16
36
＝________． 49
9＝________． 16
9. 16
36369________；________
494916
二、合作探究
探究点一：二次根式的除法
计算： 4861227a2b3(1)； (2)； (3)；
7251812ab212
(4)a3b5÷(－a2b6)(a＞0，b>0)． 23解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．
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解：(1)
48＝72
48＝72126＝185
26＝； 3322
＝6； 35
9ab3
＝ab； 42
6126(2)＝518527a2b3(3)＝12ab227a2b3＝12ab212
(4)a3b5÷(－a2b6) 2313＝×(－)22
a3b53
26＝－ab4
a3
＝－ab. b4b
方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
探究点二：最简二次根式
下列二次根式中，最简二次根式是( ) A.8a B.3a C.a
D.a2＋a2b 3
解析：A选项8a中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项a中含有分母，不是最简二次根式；D选项3
a2＋a2b中被开方数用提公因式法
因式分解后得a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式．故选B.
方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点三：商的算术平方根的性质
【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值 aa 若＝，则a的取值范围是( ) 2－a2－aA．a＜2 B．a≤2 C．0≤a＜2 D．a≥0
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??a≥0，
解析：根据题意得?解得0≤a＜2.故选C.
??2－a＞0，
方法总结：运用商的算术平方根的性质：非负数且分母不等于零这一条件．
【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式 化简： (1)(2)
71； 9
3c3(a＞0，b＞0，c＞0)． 4a4b2bb
＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是aa
解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)(2)
71＝9
16164＝＝； 993
3c33c3c
＝23c. 42＝424ab4ab2ab方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
探究点四：二次根式除法的应用
已知某长方体的体积为3010cm3，长为20cm，宽为15cm，求长方体的高． 解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．
解：长方体的高为 3010÷(20×15)＝30
10
＝3020×15
1
＝30(cm)． 30
方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体体积公式建立方程求解．
教学反思
二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率。
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