（完整版）山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第六章习题详细答案石油大学出版社

习题六

1. 设总体X～N(?,6),从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差S小于9.1的概率.

2

解 X～N(?,6),由(n?1)S～?2(n?1),于是

2?2?(n?1)S2?25?1??9.1?22P?S?9.1??P????p???24??36.4??1?p???24??36.4?66??2?1?0.05?0.95.

?102?X,X,L,XN(0,0.3)PX?1.44?. 10是取自正态总体2. 设12的样本,试求??i?i?1?2解：由i?1??Xni?u?2?22～?(n)，于是

?102?X??1.44??102??i?1i?P??Xi?1.44??P???P??2?10??16??0.1. 22??i?1??0.3????0.3?????3. 设总体X～N(a,4),X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本,X为样本均值,试问样本容量n分别为多大时,才能使以下各式成立，

?1?EX?a?2??0.1;?2?EX?a?0.1;???3?P{X?a?1}?0.95.

X?a4X?a解 （1） 因为X～N(a,),所以～N(0,1),从而4n4nn2??2?X?a?4E??1,EX?a??0.1,所以n?40. ?4n???n???2～?(1),于是

2（2）因为X?a～N(0,1),所以 4n1?x22edx?2?2?2???X?a????E??x?4?????n??2所以EX?a?2???0xe?x22?2dx?2???0e?x22?x2?2d????,

22?????422??0.1,nn?从而n?800??254.7,故n?255.

（3） 因为

???????n?1?X?a1??X?a??1?PX?a?1?P???P????2??1?0.95, ???????4?444??2??4???n?nnn??n??????n?n所以???0.975,而?1.96=0.975，从而?1.96，n?15.37,故n?16. ????2?2??24. 已知总体X～N(10,?),?为未知,X1,X2,X3,X4总体X的一个样本,X、S分别为样本

2均值和样本方差

（1）构造一个关于X的统计量Y,使得Y~t(3); （2）设s?1.92,求使P{???X?10??}?0.95的?.

解 （1）

X?10?2～N?0,1?n?1?S2?,～?2?2?n?1?,3S2?2～?2?3?,

?X?10???????2X?102???Y??2?3S??S???2?3????????～t?3?.??

??2?2X?10?2???（2） P{???X?10??}?P?????1?2t2??n?1??0.95, SSSS????所以t2??n?1??0.025,n?4,S??2??3.1824,S?1.92,??3.0551. S5. 为了估计总体均值,抽取足够大的样本,以95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差?的25%,试求样本容量. 解

?X?u??X?u?nX?u?n?n??????PX?u?0.25??P??0.25??P??????P????444?n?n???????????????n??n?n?2???1?95%,所以??0.975,?1.96,n?61.4656,所以样本容量n?62.????4??4?4????6. 从总体X～N(12,22)中抽取容量为5的样本X1,X2,?,X5，试求

(1) 样本的极小值小于10的概率; (2) 样本的极大值大于15的概率.

解 （1） Pmin?X1,X2,L,X5??10?1?Pmin?X1,X2,L,X5??10

??????X?1210?12???1??P?Xi?10??1???1?P?i???

22???i?1i?1??1????1????1????0.5785.

i?1555（2） Pmax?X1,X2,L,X5??15?1?Pmax?X1,X2,L,X5??15

5??Xi?1215?12??5?1???P???1.5?1?0.9332?0.2923. ?????????1?????22??i?1??i?15????7. 从两个正态总体中分别抽取容量为25和20的两个独立样本,算得样本方差依次为

S12?62.7，S22?25.6,若两总体方差相等,求随机抽取的两个样本的样本方差之比S大于62.7的

S212225.6概率是多少？ 解

22????SS62.711S/SSP??P?2.45??2??0.025. ?～F?n1?1,n2?1??F?24,19?，所以?2?/?S?S225.6??S2?2121222221228. 设X1,X2,?,Xn是总体X~N(?,?)的一个样本,样本方差

21n2?422S??(Xi?X),证明D(S)?n?1.

n?1i?12证 因为

(n?1)S2?2~?2(n?1)，而

D(?2(n?1))?2(n?1)，

??2(n?1)S2??42?4??2(n?1)?所以D(S)?D?. ??22n?1??n?1?(n?1)29. 设X1,X2分别是取自正态总体N(?,?)的容量均为n的相互独立的两个样本的样本均值，

2试确定n,使得两个样本均值之差超过?的概率大于0.01. 解 X1～N(u,?2n),X2～N(u,?2X1?X2n),?2n～N(0,1),

???????n?n?n??X1?X2??X1?X2?PX1?X2???P???1?P??2?2??0.01,???????2?2??2???2??2????nn??????

?n?n???0.995,?2.575,n?13. ??2?2??210. 设总体X~?(?),X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本.X,S分别为样本均值和样本方差，

试求

(1) （X1,X2,L,Xn）的分布律; (2)

E(X),D(X),E(S2)

inx??解 (1) 因为 P?X?x???e,所以P?X?x,LX?x??nP?X?x????ii11nniixi!i?1e?n?.

xi!x2!Lxn!i?1?xi(2) E?Xi???,D?Xi???,?i?1,2,L,n?

nn所以E?X??1?EXi??,D?X??12?DXi?1?,

ni?1ni?1n2?2??2??1?n21?1n?n22 E?S??E?X?X?EX?nX?EX?nX???iii????????n?1i?1???n?1?i?1??n?1?i?12???1??122??n????n??????????. ?n?1??n??11. 从总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？ 解 X～N(3.4,36X?3.4),～N(0,1), n6n??n?n??nX?3.4?P1.4?X?5.4?P?????2??1?0.95, ?????3?6n?3???3???????n??0.975,n?35. ???3?c2x?a12. 设样本观察值x1,x2,?,xn的平均值为x,样本方差为Sx,作变换yi?i

2222得y1,y2,?,yn的样本平均值为y,样本方差为Sy,试证 x?a?cy,Sx?cSy.