2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教A版

2.1.1 合情推理

1．了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点、易混点) 2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点) 3．了解合情推理在数学发现中的作用．

[基础·初探]

教材整理1 归纳推理和类比推理

阅读教材P22～P26“例4”以上内容，完成下列问题.

归纳推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理

特征 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理．( )

(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) (3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )

【解析】 (1)错误．它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理． (2)错误．类比推理不一定正确．

(3)正确．由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理2 合情推理

阅读教材P27～P29的内容，完成下列问题． 1．含义

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．合情推理的过程

从具体问观察、分析、

→→归纳、类比→提出猜想

题出发比较、联想

类比a(b＋c)＝ab＋ac，则下列结论正确的是( ) A．loga(x＋y)＝logax＋logay B．sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．ax＋y＝a＋a

xyD．a·(b＋c)＝a·b＋a·c

【解析】 由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时，才能用类比推理，而A、B、C中的两对象没有相似特征，故不适合应用类比推理．

【答案】 D

[小组合作型]

归纳推理 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－A．2 C．－2

1，则a2 017等于( ) an＋1

1B．－ 2D．1

(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________. 【导学号：81092010】

图2-1-1

1

【解析】 (1)a1＝1，a2＝－，a3＝－2，a4＝1，…，数列{an}是周期为3的数列，2 017

2＝672×3＋1，∴a2 017＝a1＝1.

(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝2－3,5＝2－3,13＝2－3,29＝2－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为2

8＋1

2

3

4

5

－3＝509.

【答案】 (1)D (2)509

1．由已知数式进行归纳推理的方法

(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律． (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征． (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．归纳推理在图形中的应用策略

通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：

续表

[再练一题]

1．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )

图2-1-2

A．26 B．31 C．32 D．36

(2)把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第六个三角形数是________．

图2-1-3

【解析】 (1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：

图案 个数 1 6 2 11 3 16 … … 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.

法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.

(2)第六个三角形数为3＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28

类比推理在几何中的应用 如图2-1-4所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△

papbpcABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论ha＋hb＋hc＝1. 【导

学号：81092011】

图2-1-4

证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．

【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．