猜想，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则
1
AE2＝1
AB2＋1
AC2＋
1
AD2
.
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD，
又AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴1
AE2＝1
AB2＋1
AF2
.
在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴1
AF2
＝1
AC2
＋1
AD2
，∴
1
AE2
＝1
AB2
＋
1
AC2
＋1
AD2
.
[能力提升]
1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝11 111； 12 345×9＋6＝111 111； A．1 111 110 C．1 111 112
B．1 111 111 D．1 111 113
【解析】 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.
【答案】 B
2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则
AG＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCDGD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝( )
A．1 C．3
B．2 D．4
6，3
AOOM【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝
131
此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝
343×
36666666
×?r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1. 43123124412【答案】 C
5－1→→3．如图2-1-8所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，
2此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_____________________________________．
【导学号：81092015】
图2-1-8
x2y2
【解析】 如图所示，设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)， →→
所以FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)． →→又因为FB⊥AB，
→→2
所以FB·AB＝b－ac＝0，
所以c－a－ac＝0，所以e－e－1＝0， 1＋51－5
所以e＝或e＝(舍去)．
22【答案】
1＋5
2
2
2
2
4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin13°＋cos17°－sin 13°cos 17°； ②sin15°＋cos15°－sin 15°cos 15°； ③sin18°＋cos12°－sin 18°cos 12°； ④sin(－18°)＋cos48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin(－25°)＋cos55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【解】 (1)选择②式，计算如下：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11322
sin15°＋cos15°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝. 244322
(2)三角恒等式为sinα＋cos(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
4证明如下：
sinα＋cos(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sinα＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
323131222
＝sinα＋cosα＋sin αcos α＋sinα－sin αcos α－sinα 4242232323
＝sinα＋cosα＝. 444
2
2
2
2
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