...
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）由题意补全图形即可；
（2）利用对称的性质计算出∠DAP，再利用等边三角形的性质，利用三角形的内角和计算即可；
（3）先判断出，点B，C，D，在以A为圆心的圆上，再利用圆周角的特点计算即可． 【解答】解：（1）补全图形，如图1所示，
（2）∵点B关于直线AP的对称点为D， ∴∠DAP=∠BAP=15°，AD=AC ∴∠DAB=30°， ∵∠BAC=60°， ∴∠DAC=90°，
∴β=∠ACE=∠ADE=45°， ∵∠BAP=15°，∠BAC=60°，
∴γ=∠AEC=180°﹣（∠BAP+∠BAC）﹣∠ACE=60°； （3）①α=β+60°； 理由如下：
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...
∵点D与点B关于直线AP对称， ∴AD=AB，∠PAD=∠PAB=α， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，AB=AC， ∴AD=AB=AC，
∴点B，C，D，在以A为圆心的圆上， ∴∠BAD=2∠BCD，
∵∠BAD=∠PAD+∠PAB=2α， ∠BCD=∠ACE+∠BCA=β+60°， ∴2α=2（β+60°）， ∴α=β+60°；
②由②知，∠PAB=∠BCD， ∴A，B，C，E四点共圆， ∴∠AEC+∠ABC=180°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°，
∴∠AEC=180°﹣∠ABC=120° ∴γ=∠AEC=120°．
29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= 1 ，d（B，⊙O）= 3 ． ②已知直线l：y=
与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．
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（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，
与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）①连接OB，如图1①，只需求出OA、OB就可解决问题； ②设直线l：y=
与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于
点G，如图1②，可用面积法求出OH，然后根据条件建立关于b的方程，然后解这个方程就可解决问题；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．易求出点D、E的坐标，从而可得到OD、OE，然后运用三角函数可求出∠ODE，然后分三种情况（①点C在点D的左边，②点C与点D重合，③点C在点D的右边）讨论，就可解决问题．
【解答】解：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，如图1①， ∵⊙O的半径为2，点A（0，1）， ∴d（A，⊙O）=2﹣1=1． ∵B（4，3）， ∴OB=
=5，
∴d（B，⊙O）=5﹣2=3． 故答案为1，3； ②设直线l：y=点G，如图1②，
∴P（﹣b，0），Q（0，b），
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与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于
...
∴OP=|b|，OQ=|b|， ∴PQ=|b|．
∵S△OPQ=OP?OQ=PQ?OH， ∴OH=
=|b|．
与⊙O的密距d（l，⊙O）=， ，
∵直线l：y=∴|b|=2+=∴b=±4；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2． ∵点D、E分别是直线y=﹣∴D（4，0），E（0，∴OD=4，OE=∴tan∠ODE=
=， ，
），
与x轴、y轴的交点，
∴∠ODE=30°．
①当点C在点D左边时，m＜4． ∵xC=m， ∴CD=4﹣m，
∴CN=CD?sin∠CDN=（4﹣m）=2﹣m． ∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜， ∴0＜2﹣m＜+1， ∴1＜m＜4；
②当点C与点D重合时，m=4． 此时d（DE，⊙C）=0．
③当点C在点D的右边时，m＞4．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
...
∴CD＜， ∴m﹣4＜+1， ∴m＜
∴4＜m＜．
综上所述：1＜m＜
．
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