∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），
∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4； （2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D， ∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m）， S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6， ∵﹣2＜0，
∴S有最大值，则S大=6；
（3）存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形， 理由是：
分以下两种情况： ①当∠BQM=90°时，如图2： ∵∠CMQ＞90°， ∴只能CM=MQ．
设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 把B（2，0）、C（0，4）代入得：，
解得：
，
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4， 设M（m，﹣2m+4），
则MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m， 在Rt△OBC中，BC==
=2
，
∵MQ∥OC，
∴△BMQ∽BCO， ∴
，即
，
∴BM=（2﹣m）=2﹣m，
∴CM=BC﹣BM=2﹣（2﹣m）=m，
∵CM=MQ， ∴﹣2m+4=
m，m=
=4
﹣8． ∴Q（4﹣8，0）． ②当∠QMB=90°时，如图3： 同理可设M（m，﹣2m+4）， 过A作AE⊥BC，垂足为E， 则AE的解析式为：y=x+，
则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2）， 设Q（﹣x，0）（x＞0）， ∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
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∴①，
由勾股定理得：x2+42=2×[m2+（﹣2m+4﹣4）2]②， 由以上两式得：m1=4（舍），m2=， 当m=时，x=， ∴Q（﹣，0）． 综上所述，Q点坐标为（4
﹣8，0）或（﹣，0）．
22
【点评】本题是二次函数的综合问题，综合性较强；考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用方程组求图象的交点坐标，将函数和方程有机地结合，进一步把函数简单化；同时还考查了相似的性质：在二次函数的问题中，如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解．
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