（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S?PAM＝S?PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
50．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线C1：y＝x﹣2x与抛物线C2：y＝ax+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB． （1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； （3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．
2
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答案解析
1．（2019·辽宁中考模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+3 的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．点P为第一象限的抛物线上的一个动点，过点P分别做BC和x轴的垂线，交BC于点E和F，交x轴于点M和N． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段PE最大值，并求出线段PE最大时点P的坐标； （3）若S△PMN＝3S△PEF时，求出点P的坐标．
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
?3a?????a?b?3?0?3，解得：， ????b?23?9a?3b?3?0?3?∴二次函数的解析式为y??（2）∵当x?0时，y?∴C0,3，
3223x?x?3． 333，
??∴tan?ABC?OC3， ?OB3∴?ABC?30? ∵PN?x轴，
∴?PFE??BFN?60?，
又∵PE?BC， ∴sin?PFE?PE， PF∴PE?3PF， 2??3223Px,?x?x?3设?，直线BC的解析式为y?mx?n， ???33????n?3， ???3m?n?0∴m??33,y??x?3， 33∴F??x,????3x?3? ?3?????3??32233123?x?x?3???3??x?x ∴PE????????3??3?2?322???????131?3?9又PE??x2?x???x???，
222?2?8?353?93∴当x=时，PE取得最大值，PE的最大值为，此时点P的坐标为??2,4??. 82??2
（3）∵?PEF??PNM,?P??P， ∴VPEF∽VPNM，
S?PE?∴VPEF???， SVPNM?PN?∵SVPNM?3SVPEF，
2PE1?∴， PN3∴PN?3PE
由（2）得3??3223?123?x?x???x?x?3 2?33?2解得，x1?2,x2?3（舍去）， ∴P2,3
2．（2018·辽宁中考真题）如图，点A，B，C都在抛物线y=ax﹣2amx+am+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）； （2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
2
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??14
∵AB∥x轴，且AB=4，
∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）， ∵∠ABC=135°，
∴设BD=t，则CD=t，
∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）， ∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上， ∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）+2m﹣5， 整理，得：at+（4a+1）t=0， 解得：t1=0（舍去），t2=﹣
2
2
4a?1， a∴S△ABC=
18a?2AB?CD=﹣；
a2（3）∵△ABC的面积为2，
8a?2=2， a1解得：a=﹣，
5∴﹣
∴抛物线的解析式为y=﹣分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣整理，得：m﹣14m+39=0，
解得：m1=7﹣10（舍去），m2=7+10（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣整理，得：m﹣20m+60=0，
解得：m3=10﹣210（舍去），m4=10+210． 综上所述：m的值为
22
1（x﹣m）2+2m﹣5． 512
（2m﹣2﹣m）+2m﹣5=2， 57； 212
（2m﹣5﹣m）+2m﹣5=2， 57或10+210． 23．（2018·辽宁中考模拟）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（﹣3，﹣3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B（﹣6，m），与x轴交于点C，求m的值和直线BC的表达式；
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