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2019高考数学二轮复习 专题八 选考4系列选讲 2.8.1 坐标系与参数方程学案 理

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是的是的广泛广泛2.8.1 坐标系与参数方程

1.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

[解] (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为 (x+1)+y=4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.

由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且

2

2

2

l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

|-k+2|

当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=

k2+144

-或k=0,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共33点,l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以

|k+2|

k2+1

=2,故k=0

44

或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.

33

4

综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.

3

??x=cosθ,

2.(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为?

?y=sinθ?

为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.

(1)求α的取值范围;

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O的直角坐标方程为x+y=1. π

当α=时,l与⊙O交于两点.

2

π

当α≠时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-2.l与⊙O交于两点当且仅当

2

2

2

呵呵复活复活复活 是的是的广泛广泛?2??π,π?或α∈?π,3π?.

<1,解得k<-1或k>1,即α∈???42??22

4??????1+k?

?π3π?综上,α的取值范围是?,?.

4??4

(2)l的参数方程为

?x=tcosα,

?

?y=-2+tsinα

π3π

(t为参数,<α<).

44

设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=+1=0.

于是tA+tB=22sinα,tP=2sinα.

tA+tB2

,且tA,tB满足t-22tsinα

2

?x=tPcosα,

又点P的坐标(x,y)满足?

?y=-2+tPsinα.

所以点P的轨迹的参数方程是 2

?x=sin2α,?2?22

y=--cos2α??22

π3π

(α为参数,<α<).

44

1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:一是简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.

2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现,难度中等,备考此部分内容时应注意转化思想的应用.

呵呵复活复活复活

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