浙江省宁波市2018届高三5月模拟考试数学试题(全WORD版)
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宁波市2018年高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1．已知集合A??x0?x?5?，B??xx2?2x?8?0?，则AIB?
A．??2,4? B．?4,5? C．??2,5? D．?0,4?
2．已知复数z满足z(1?i)?2?i（i为虚数单位），则z的虚部为
3333A．?i B．i C．? D．
222 23．已知直线l、m与平面?、?，l??，m??，则下列命题中正确的是
A．若l//m，则必有?//? B．若l?m，则必有??? C．若l??，则必有??? D．若???，则必有m??
1???4．使得?3x??（n?N）的展开式中含有常数项的最小的n为
xx??A．4 B．5
C．6
D．7
n5．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an?0”是“{Sn}为递增数列”的 条件
?x?2y?4?0?6．已知实数x，y满足不等式组?3x?4y?8?0，则x?y的最大值为
?2x?y?8?0?A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必
（第7题图）
要
A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
7．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有
A．48种 B．72种 C．96种 D．216种
8．设抛物线y2?4x的焦点为F，过点P(5,0)的直 线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于C，若BF?5，则?BCF与?ACF的面积之比
A．
S?BCF? S?ACF5201520 B． C． D． 6333129收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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?x2?ax?1,x?a????(,)，满足f(sin?)?f(cos?)，9．已知a为正常数，f(x)??2,若存在242x?3ax?2a?1,x?a?则实数a的取值范围是 A. (,1) B. (12212,1) C. (1,2) D. (,) 22210．已知x,y均为非负实数，且x?y?1，则4x2?4y2?(1?x?y)2的取值范围为
23二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．
y22?1的离心率是 ，渐近线方程为 ． 11．双曲线x?3A. [,4] B．[1,4] C．[2,4] D．[2,9]
12．已知直线l:mx?y?1．若直线l与直线x?my?1?0平行，则m的值为 ；动直线l被圆x2?2x?y2?24?0截得弦长的最小值为 ．
13．已知随机变量X的分布列如下表： 2 XPa 2 b 3 4 1 42311 31 6若EX?2，则a? ；DX? ．
（第14题图）
14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120o的等腰三角形，侧视图为直角
三角形，则该三棱锥的表面积为 ，该三棱锥的外接球体积为 ．
2aaa2an（3)3?L?（n)n? ． 15．已知数列{an}与{}均为等差数列（n?N?），且a1?2，则a1?(2)?n23n16．已知实数a,b,c满足：a?b?c??2，abc??4.则a?b?c的最小值
D1C1B1EDBC为 ．
17．已知棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为侧面BB1C1C中心，F在
uuuuruuuuruuuur棱AD上运动，正方体表面上有一点P满足D1P?xD1F?yD1E(x?0,y?0)，
A1FA则所有
满足条件的P点构成图形的面积为 ．
（第17题
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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???18．（本题满分14分）已知函数f(x)?4cosx?sin?x???1.
6??（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足f(B)?0，a?2，且D是
BC的中点，P是直线AB上的动点，求CP?PD的最小值．
19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD,?C?60?，点E在线段CD上，满
1足BE?CD,且CE?AB?CD?2，现将?ADE沿AE翻折到AME位置，使得MC?210．
4（Ⅰ）证明：AE?MB;
（Ⅱ）求直线CM与面AME所成角的正弦值．
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20．（本题满分15分）已知函数f(x)?alnx?x?常数．
（Ｉ）若x?1，其中a为实x1是f(x)的极大值点，求f(x）的极小值； 2（Ⅱ）若不等式alnx?511?b?x对任意??a?0，?x?2
2x2恒成立，求b的最小值．
x2y2321．（本题满分15分）如图，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，点M(?2,1)是椭圆
ab2内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2，设l1与椭圆C相交于点A,B，l2与椭圆C相交于点D,E．当M恰好为线段AB的中点时，AB?10． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
uuuruuur（Ⅱ）求AD?EB的最小值．
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，bn},{cn}，满足a1??22. （本题满分15分）三个数列{an}{an?1?2|an?1|?an?2an?511，b1?1，102，bn?1?2bn?1，cn?abn,n?N*．
（Ⅰ）证明：当n?2时，an?1；
（Ⅱ）是否存在集合[a,b]，使得cn?[a,b]对任意n?N*成立，若存在，求出b?a的最小值；
若不存在，请说明理由；
22232n??L??2n?1?cn?1?6(n?N*,n?2)． （Ⅲ）求证：
c2c3cn
宁波市2018年高考模拟考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的． 1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．A
9．
f(x)关于直线x?a对称，且在[a,??)上为增函数．
所以a?sin??cos?2??sin(??) ．
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因为?????3??(,) ，???(,)．
424422?12sin(??)?(，)． 24221?(x?y)?z，则试题等价于x?y?2z?1，满足x,y,z?0，求4(x2?y2?z2)的取值范围． 2所以a?10．简解：
1设点A(0,0,)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点，
2则
|OP|2?x2?y2?z2，于是问题可以转化为|OP|的取值范围．
显然|OP|?1，|OP|的最小值为O到平面ABC的距离， 可以利用等积法计算．因为
VO?ABC?VA?OBC，于是可以得到
|OP|?121．所以|OP|2?[,1]，即4[x2?y2?z2]?[,4]．
366(x?y)2另解：因为x,y?0，所以?x2?y2?(x?y)2
2令t?x?y，则0?t?1 ．
4x2?4y2?(1?x?y)2?4t2?(1?t)2?5t2?2t?1?4．
当xy?0且t?1，即x?0,y?1或x?1,y?0时取等号； 另一方面，4x2?4y2?(1?x?y)2?2t2?(1?t)2?3t2?2t?1?当x?y?2 312时取等号．所以4x2?4y2?(1?x?y)2?[,4]．
36
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 520511．2，y??3x 12．?1，223 13．0； 14．4?3?15，? 15．2n?1?2
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16．6 17．
11 816．简解：不妨设a是a,b,c中的最小者，即a?b,a?c，由题设知a?0，
且b?c??2?a，bc??4. a4?0的两实根， a于是b,c是一元二次方程x2?(2?a)x???(2?a)2?4?4?0， aa3?4a2?4a?16?0，(a2?4)(a?4)?0, 所以a??4.
又当a??4,b?c?1时，满足题意. 故a,b,c中最小者的最大值为?4.
因为a,b,c?0，所以a,b,c为全小于0或一负二正.
1）若a,b,c为全小于0，则由（1）知，a,b,c中的最小者不大于?4，这与a?b?c??2矛盾. 2）若a,b,c为一负二正，设a?0,b?0,c?0，则
a?b?c??a?b?c???2a?2?8?2?6 当a??4,b?c?1时，
A1D1B1C1满足题设条件且使得不等式等号成故a?b?c的最小值为6. 17．答：
DNABC立．
11． 8构成的图形，如图所示．记BC中点为N，所求图形为直角梯形ABND、?BNE、?D1AD．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 解答：（Ⅰ）f(x)?4cosx(31sinx?cosx)?1 22?3sin2x?cos2x?2?2sin(2x?)?2……………………4分
6
?由于??2?2k??2x??6??2?2k?,k?Z，
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????所以f(x)增区间为?k??,k???,k?Z．……………………6分
63??（Ⅱ）由f(B)?2sin(2B?)?2?0得 6?2B?????，所以B?. …………8分 623
作C关于AB的对称点C', 连
(C'D)2?BD2?(BC')2?BD?BC'?7
C'D,C'P,C'B，
……………………12分
CP?PD?C?P?PD?C?D?7，当C?,P,D共线时，取最小值7.
……………………14分
19．（本题满分15分）
解答：（Ⅰ）方法一：连BD交AE于N，由条件易算BD?43 ∴BC?BD ··········2分 又BC//AE ∴AE?BD ··········4分
从而AE?BN,AE?MN 所以AE?平面MNB ··········6分 ∴AE?MB ··········7分
M
BABA
方法二：由
ME?DE?6,CE?2,MC?210，得
CED（第19题图）
CEME2?CE2?MC2 , 故CE?ME，
又CE?BE ，所以CE?平面BEM ，……………………2分 所以CE?BM， ……………………3分 可得AB?BM，计算得AD?AM?27,MB?26,
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从而ME2?MB2?BE2,BE?BM ……………………5分
MB?平面ABE，所以AE?MB. ……………………7分
（Ⅱ）方法一：设直线CM与面AME所成角为?， 则sin??hMC，其中h为C到面AME的距离. …………………9分 ∵AE∥BC ∴C到面AME的距离即B到面AME的距离. 由VM?ABE?13S1?ABEBM?VB?AME?3S?AEMh．…………………12分 所以h?S?ABEBM2S?6
?AEM3∴sin??hMC?1515 . ……………………………………………15分 方法二：由MB?面ABCE，如图建系，
A(0,2,0),C(23,?2,0), E(23,,0),M(0,0,26),
则uAMuuur?(0,?2,26),uAEuur?(23,?2,0), uMCuuur?(23,?2,?26)
设平面AME的法向量为umr?(x,y,z)，
uruuu由?ur??m?AM?0?umr?uAEuur?0，可取 ?umr?(2,6,1) ， …………………………12分
?sin??cos?umr,uMCuuururuuuur??um?MC15mr?uMCuuur?15．………………………15分 .
20．（本题满分15分）
解答：（Ｉ）f?(x)?x2?ax?1x2， 因为x?0．
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由f'()?0，得()2?121215a?1?0 ，所以a?? ,…………3分 2251此时f(x)??lnx?x?．
2x51x2?x?1(x?2)(x?)22． 则f'(x)??22xx1所以f(x)在[,2]上为减函数，在[2,??)上为增函数．…………5分
235ln2所以x?2为极小值点，极小值f(2)??． …………6分
22.
（Ⅱ）不等式alnx?1?b?x即为f(x)?b． x所以b?fmax(x)． ……………………………8分 ⅰ）若1?x?2，则lnx?0，f(x)?alnx?x?1113?x??2??． xx22当a?0,x?2时取等号； ……………………………10分
1151?x?1，则lnx?0，f(x)?alnx?x???lnx?x?．
x2x2511由（Ｉ）可知g(x)??lnx?x?在[,1]上为减函数．
2x21153所以当?x?1时，g(x)?g()?ln2?． ……………………13分
2222353533因为ln2????1?．所以fmax(x)=
2222223于是bmin?． ……………………15分
2
ⅱ）若
21．（本题满分15分）
解答：（Ⅰ）由题意设a2?4b2， …………………2分
x2y2即椭圆C:2?2?1，
4bb设A(x1,y1),B(x2,y2), C(x3,y3),D(x4,y4)
DAMyB?x12?4y12?4b2由?222作差得， x?4y?4b?22(x1?x2)(x1?x2)? 4(y1?y2)(y1?y2)?0
OEx又∵M(?2,1),即x1?x2??4,y1?y2?2，
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（第21题图）
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∴AB斜率k?y1?y21?．…………………………4分
x1?x22
?x2y2??1??4b2b2由?．
1?y?x?2??222消x得，x?4x?8?2b?0．
116?4(8?2b2)?10． 4x2y22?1．…………………6分 解得b?3，于是椭圆C的方程为：?123?x2y2??1?（Ⅱ）设直线AB:y?k(x?2)?1, 由?123消x得，
?y?k(x?2)?1?则AB?1?k2x1?x2?1?(1?4k2)x2?8k(2k?1)x?4(2k?1)2?12?0．
?8k(2k?1)4(2k?1)2?12,x1?x2?于是x1?x2?．………………8分 221?4k1?4kuuuruuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuruuuuruuuurAD?EB?(AM?MD)?(EM?MB)?AM?MB?EM?MD
?(?2?x1,1?y1)?(2?x2,y2?1)?(?2?x4,1?y4)?(2?x3,y3?1)
∵(?2?x1,1?y1)?(2?x2,y2?1)??(1?k2)(2?x1)(2?x2)
4(1?k2)??(1?k)[4?2(x1?x2)?x1x2]?． …………………13分
1?4k224(1?k2)同理可得(?2?x4,1?y4)?(2?x3,y3?1)?． 24?kuuuruuur1120(1?k2)22∴AD?EB?4(1?k)( ?)?1?4k24?k2(1?4k2)(4?k2)，
20(1?k2)216??, 当k??1时取等号． 221?4k?4?k25()2uuuruuur16综上，AD?EB的最小值为． …………………15分
5
22. （本题满分15分）
解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当n?2时，an?1．
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2|an?1|?an?2an?511ⅰ）当n?2时，由a1??an?1?10，2，
得a2?5，显然成立； 2ⅱ）假设n?k时命题成立，即ak?1． 则n?k?1时，ak?1?2ak?1?ak?2ak?52．
．
于是ak?1?1?2ak?3?ak?2ak?522?2ak?5)2?(3?ak)2?4(ak?1)?0． 因为(ak所以ak?1?1，这就是说n?k?1时命题成立．
由ⅰ）ⅱ）可知，当n?2时，an?1． …………………3分 （Ⅱ）由bn?1?2bn?1,b1?1，得bn?1?1?2(bn?1)， 所以bn?1?2n，从而bn?2n?1． ………………5分 由（Ⅰ）知，当n?2时，an?1， 所以，当n?2时，an?1?an?2an?2an?5?(1?an)2．
2?2an?5?(1?an)2?4(1?an)?0，所以an?1?an． 因为an综上，当n?2时，1?an?1?an． ………………7分
11115，an?1?f(an)(n?N*)，所以c1?a1?? ，a2?,a3?2 10102115所以c1?1,c2?a3?c3?L?1，又c1?a1??,a2?,c2?a3?2．
102由a1??从而存在集合[a,b]，使得cn?[a,b]对任意n?N*成立， 当b?c2?a3?2,a?c1??1131时,b?a的最小值为c2?c1?．……9分
10102an?a?1（Ⅲ）当n?2时，an?1， 所以an??1n?1
an?12即anan?1?an?1?an?1?1 ， 也即an?an?1?1?1 ，…………11分 an?1收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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cn?cn?1?abn?abn?11abn?11abn?2?1abn?11?（abn?abn?1）?（abn?1?abn?2)?L?(abn?1?1?abn?1）?（1-）?（1-1abn?1）?L?（1-1abn?2）
n
?(bn?1?bn)?(2n?L?）?2-．
abn?1cn2n即?2n?cn?1?cn(n?2),． cnn2i于是???(2i?ci?1?ci)?2n?1?4?cn?1?c2?2n?1?cn?1?6．
i?2cii?2n22232n故??L??2n?1?cn?1?6(n?N*,n?2)．……………15分 c2c3cn.
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