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20.(本题满分15分)已知函数f(x)?alnx?x?常数.
(I)若x?1,其中a为实x1是f(x)的极大值点,求f(x)的极小值; 2(Ⅱ)若不等式alnx?511?b?x对任意??a?0,?x?2
2x2恒成立,求b的最小值.
x2y2321.(本题满分15分)如图,椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,点M(?2,1)是椭圆
ab2内一点,过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2,设l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点D,E.当M恰好为线段AB的中点时,AB?10. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
uuuruuur(Ⅱ)求AD?EB的最小值.
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,bn},{cn},满足a1??22. (本题满分15分)三个数列{an}{an?1?2|an?1|?an?2an?511,b1?1,102,bn?1?2bn?1,cn?abn,n?N*.
(Ⅰ)证明:当n?2时,an?1;
(Ⅱ)是否存在集合[a,b],使得cn?[a,b]对任意n?N*成立,若存在,求出b?a的最小值;
若不存在,请说明理由;
22232n??L??2n?1?cn?1?6(n?N*,n?2). (Ⅲ)求证:
c2c3cn
宁波市2018年高考模拟考试
数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的. 1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 9.D 10.A
9.
f(x)关于直线x?a对称,且在[a,??)上为增函数.
所以a?sin??cos?2??sin(??) .
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因为?????3??(,) ,???(,).
424422?12sin(??)?(,). 24221?(x?y)?z,则试题等价于x?y?2z?1,满足x,y,z?0,求4(x2?y2?z2)的取值范围. 2所以a?10.简解:
1设点A(0,0,),B(1,0,0),C(0,1,0),点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点,
2则
|OP|2?x2?y2?z2,于是问题可以转化为|OP|的取值范围.
显然|OP|?1,|OP|的最小值为O到平面ABC的距离, 可以利用等积法计算.因为
VO?ABC?VA?OBC,于是可以得到
|OP|?121.所以|OP|2?[,1],即4[x2?y2?z2]?[,4].
366(x?y)2另解:因为x,y?0,所以?x2?y2?(x?y)2
2令t?x?y,则0?t?1 .
4x2?4y2?(1?x?y)2?4t2?(1?t)2?5t2?2t?1?4.
当xy?0且t?1,即x?0,y?1或x?1,y?0时取等号; 另一方面,4x2?4y2?(1?x?y)2?2t2?(1?t)2?3t2?2t?1?当x?y?2 312时取等号.所以4x2?4y2?(1?x?y)2?[,4].
36
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. 520511.2,y??3x 12.?1,223 13.0; 14.4?3?15,? 15.2n?1?2
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16.6 17.
11 816.简解:不妨设a是a,b,c中的最小者,即a?b,a?c,由题设知a?0,
且b?c??2?a,bc??4. a4?0的两实根, a于是b,c是一元二次方程x2?(2?a)x???(2?a)2?4?4?0, aa3?4a2?4a?16?0,(a2?4)(a?4)?0, 所以a??4.
又当a??4,b?c?1时,满足题意. 故a,b,c中最小者的最大值为?4.
因为a,b,c?0,所以a,b,c为全小于0或一负二正.
1)若a,b,c为全小于0,则由(1)知,a,b,c中的最小者不大于?4,这与a?b?c??2矛盾. 2)若a,b,c为一负二正,设a?0,b?0,c?0,则
a?b?c??a?b?c???2a?2?8?2?6 当a??4,b?c?1时,
A1D1B1C1满足题设条件且使得不等式等号成故a?b?c的最小值为6. 17.答:
DNABC立.
11. 8构成的图形,如图所示.记BC中点为N,所求图形为直角梯形ABND、?BNE、?D1AD.
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分) 解答:(Ⅰ)f(x)?4cosx(31sinx?cosx)?1 22?3sin2x?cos2x?2?2sin(2x?)?2……………………4分
6
?由于??2?2k??2x??6??2?2k?,k?Z,
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