十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题19 不等式选讲

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题19不等式选讲

1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)

3

≤a+b+c;

3

3

222

(2)(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24.

【解析】(1)因为a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac,又abc=1,故有a+b+c≥ab+bc+ca=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

.

所以≤a+b+c.

222

(2)因为a,b,c为正数且abc=1, 故有(a+b)+(b+c)+(c+a)

3

3

3

≥3

=3(a+b)(b+c)(a+c) ≥3×(2

3

)×(2

3

)×(2

3

)=24.

所以(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24.

2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x<1时,f(x)=-2(x-1)<0; 当x≥1时,f(x)≥0.

所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1). (2)因为f(a)=0,所以a≥1. 当a≥1,x∈(-∞,1)时,

f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.

1

2

所以,a的取值范围是[1,+∞).

3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 设x,y,z∈R,且x+y+z=1.

(1)求(x-1)2

+(y+1)2

+(z+1)2

的最小值;

(2)若(x-2)2

+(y-1)2

+(z-a)2

≥成立,证明:a≤-3或a≥-1. 【解析】(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2

=(x-1)2

+(y+1)2

+(z+1)2

+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2

+(y+1)2

+(z+1)2

], 故由已知得(x-1)2

+(y+1)2

+(z+1)2

≥,

当且仅当x=,y=-,z=-时等号成立.

所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2

的最小值为. (2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2

=(x-2)2

+(y-1)2

+(z-a)2

+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2

+(y-1)2

+(z-a)2

],

故由已知得(x-2)2

+(y-1)2

+(z-a)2

≥,

当且仅当x=,y=,z=时等号成立.

因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2

的最小值为

.

由题设知,解得a≤-3或a≥-1.

4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,

2

即f(x)=

故不等式f(x)>1的解集为.

(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;

若a>0,|ax-1|<1的解集为0

5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,

f(x)=

可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图像;

(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

3

【解析】(1)f(x)=

(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.

7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 当x<-1时,①式化为x-3x-4≤0,无解;

当-1≤x≤1时,①式化为x-x-2≤0,从而-1≤x≤1;

2

2

2

22

当x>1时,①式化为x+x-4≤0,从而1

所以f(x)≥g(x)的解集为(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.

.

所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.

又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1. 所以a的取值范围为[-1,1].

8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x-x+m的解集非空,求m的取值范围. 【解析】(1)f(x)=当x<-1时,f(x)≥1无解;

4

2