当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2
-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2
+x. 而|x+1|-|x-2|-x2
+x≤|x|+1+|x|-2-x2
+|x| =-,
且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2
+x=.故m的取值范围为
.
9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a3
+b3
=2.证明: (1)(a+b)(a5
+b5
)≥4; (2)a+b≤2.
【解析】(1)(a+b)(a5
+b5
)=a6
+ab5
+a5
b+b6
=(a3
+b3)2
-2a3b3
+ab(a4
+b4) =4+ab(a2
-b2)2
≥4.
(2)因为(a+b)3
=a3
+3a2
b+3ab2
+b3
=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)
=2+,
所以(a+b)3
≤8,因此a+b≤2.
10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集.
【解析】(1)f(x)=
5
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时, 可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5, 故f(x)>1的解集为{x|1 所以|f(x)|>1的解集为 . 11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)当x∈R时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| ≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.① (分类讨论) 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2. 所以a的取值范围是[2,+∞). 12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|. 6 【解析】(1)f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 当- 当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1 13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 当-1 . 2 22 2 2 2 22 (2)由题设可得f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积 7 为(a+1)2.由题设得(a+1)2 >6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞). 14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则; (2) 是|a-b|<|c-d|的充要条件. 【解析】证明(1)因为()2 =a+b+2,()2 =c+d+2 , 由题设a+b=c+d,ab>cd得()2>( )2 . 因此 . (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2 <(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2 -4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得. ②若,则()2 >( )2 , 即a+b+2 >c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 于是(a-b)2 =(a+b)2 -4ab<(c+d)2 -4cd=(c-d)2 . 因此|a-b|<|c-d|. 综上, 是|a-b|<|c-d|的充要条件. 15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=, 证明: (1)a+b≥2; (2)a2 +a<2与b2 +b<2不可能同时成立. 【解析】证明由a+b= ,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2, 即a+b≥2. (2)假设a2 +a<2与b2 +b<2同时成立, 8
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