则由a2
+a<2及a>0得0 同理,0 +a<2与b2 +b<2不可能同时成立. 16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且. (1)求a3 +b3 的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. 【解析】(1)由 ,得ab≥2,且当a=b= 时等号成立. 故a3+b3 ≥2 ≥4,且当a=b=时等号成立. 所以a3 +b3 的最小值为4. (2)由(1)知,2a+3b≥2≥4 . 由于4 >6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6. 17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=+|x- a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 【解析】(1)证明由a>0,有f(x)=+|x-a|≥ +a≥2.所以f(x)≥2. (2)解f(3)= +|3-a|. 当a>3时,f(3)=a+, 由f(3)<5,得3 9 当0 由f(3)<5,得 综上,a的取值范围是. 2 18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M; (2)当x∈M∩N时,证明:xf(x)+x[f(x)]≤. 2 2 【解析】(1)解f(x)= 当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤, 故1≤x≤; 当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1. 所以f(x)≤1的解集为M=(2)证明由g(x)=16x-8x+1≤4, 得16 ≤4, 2 . 解得-≤x≤. 因此N=. 故M∩N=. 当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是 10 xf(x)+x·[f(x)]=xf(x)[x+f(x)] =x·f(x)=x(1-x)= . 22 19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x) 时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x) 则y=其图象如图所示. 从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0 时,f(x)=1+a,不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3. 所以x≥a-2对x∈都成立. 故-≥a-2,即a≤. 从而a的取值范围是. 20.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤; 11 (2)≥1. 【解析】证明(1)由a2 +b2 ≥2ab,b2 +c2 ≥2bc,c2 +a2 ≥2ca, 得a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2 =1,即a2 +b2 +c2 +2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤. (2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c, 故+(a+b+c)≥2(a+b+c), 即≥a+b+c.所以≥1. 21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集; (2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 【解析】(1)当a=-3时,f(x)= 当x≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x≤1; 当2 当x≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x≥4; 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[-3,0]. 22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值. 【解析】(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2. 12
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