设
?1?1?1???1?????A=??111?,?1??1?.
?0?4?2???2?????2（Ⅰ）求满足A?2??1，A?3??1的所有向量?2，?3.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3，证明?1,?2,?3线性无关. （21）（本题满分11 分） 设二次型
f(x1,x2,x3)?ax12?ax22?(a?1)x32?2x1x3?2x2x3.
（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12?y22，求a的值. （22）（本题满分11 分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?e?xf(x,y)???0（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； （Ⅱ）求条件概率PX?1Y?1. （23）（本题满分11分）
0?y?x
其他??袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
（Ⅰ）求PX?1Z?0；
（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.
??
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
?（1）设函数f(x)在区间[?1,1]上连续，则x?0是函数g(x)?x0f(t)dtx的（ ）
（A）跳跃间断点. （C）无穷间断点.
（B）可去间断点. （D）振荡间断点.
（2）如图，曲线段方程为y?f(x)，函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数，则定积分
?a0xft(x)dx等于（ ）
（A）曲边梯形ABOD面积.
（B） 梯形ABOD面积. （D）三角形ACD面积.
（C）曲边三角形ACD面积.
x2?y4（3）已知f(x,y)?e，则
（A）fx?(0,0)，fy?(0,0)都存在 （B）fx?(0,0)不存在，fy?(0,0)存在 （C）fx?(0,0)存在，fy?(0,0)不存在 （D）fx?(0,0)，fy?(0,0)都不存在
（4）设函数f连续，若F(u,v)?Duv??f(x2?y2)x2?y2dxdy，其中Duv为图中阴影部分，则
?F??u（ ）
（A）vf(u) （B）
2
vvf(u2) （C）vf(u) （D）f(u) uu3（5）设A为阶非0矩阵，E为n阶单位矩阵，若A?0，则（ ）
（A）E?A不可逆，E?A不可逆. （B）E?A不可逆，E?A可逆.
（C）E?A可逆，E?A可逆. （D）E?A可逆，E?A不可逆.
（6）设A???12??则在实数域上域与A合同的矩阵为（ ） ?21?
??21?（A）? ?.
1?2??
（C）??2?1? （B）??.
?12?? （D）??21??. ?12?
?1?2??.
??21?（7）随机变量X,Y独立同分布，且X分布函数为F?x?，则Z?max?X,Y?分布函数为（ ）
（A）F2?x?.
2
（B）F?x?F?y?.
（D）??1?F?x?????1?F?y???.
（C）1?? ?1?F?x???.
（8）随机变量X~N?0,1?，Y~N?1,4?且相关系数?XY?1，则（ ）
（A）P?Y??2X?1??1. （C）P?Y??2X?1??1.
（B）P?Y?2X?1??1.
（D）P?Y?2X?1??1.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
?x2?1,x?c?（9）设函数f(x)??2在(??,??)内连续，则c? .
x?c?x,?21x?x3（10）设f(x?)?，则?2x1?x42f(x)dx?______.
2(x???y)dxdy??????????????????. D（11）设D?{(x,y)x2?y2?1}，则
（12）微分方程xy??y?0满足条件y(1)?1的解是y??????????????????.
（13）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则4A?1?E?_____. （14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX2??????????????????. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文
??
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