ppp－0－2?3?2643p
M?p，?共线，所以＝，即p＝3. 6?0－2?33
3p－0
三、解答题
x2y2
10．设F1，F2分别是椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
3
(1)若直线MN的斜率为4，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. b2
b2?a3?22解 (1)根据c＝a－b及题设知M?c，a?，2c＝4，2b2＝3ac.将b2
??c1c1
＝a－c代入2b＝3ac，解得a＝2，a＝－2(舍去)．故C的离心率为2. 2
2
2
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴， 所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点， b2
故a＝4，即b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，
?x1＝－c，??2?－c－x1?＝c，2则?即?
??－2y1＝2，
3
?y1＝－1.
9c21
代入C的方程，得4a2＋b2＝1.②
29?a－4a?1
将①及c＝a2－b2代入②得4a2＋4a＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.
x2y2
11．设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点3
为A，上顶点为B.已知|AB|＝2|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝22.求椭圆的方程．
解 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)． 3
由|AB|＝2|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.
c212
又b＝a－c，则a2＝2.所以，椭圆的离心率e＝2.
2
2
2
x2y2
(2)由(1)知a＝2c，b＝c.故椭圆方程为2c2＋c2＝1.
2
2
2
2
设P(x0，y0)．由F1(－c,0)，B(0，c)， →→有F1P＝(x0＋c，y0)，F1B＝(c，c)． →→由已知，有FF1P·1B＝0，
即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.① x2y200因为点P在椭圆上，故2c2＋c2＝1.② 由①和②可得3x20＋4cx0＝0.
4而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－3c，
?4cc?c
代入①得y0＝3，即点P的坐标为?－3，3?.
??
设圆的圆心为T(x1，y1)，
4c
－3c＋03＋c22
则x1＝2＝－3c，y1＝2＝3c， 5
所以圆的半径r＝?x1－0?＋?y1－c?＝3c.
22由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，
2?2?2?2?5
又|MF2|＝22，故有?c＋3c?＋?0－3c?＝8＋9c2，解得c2＝3.
????x2y2
所以，所求椭圆的方程为6＋3＝1.
B级——能力提高组
1．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x→·→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之轴的两侧，OAOB和的最小值是( )
172
A．2 B．3 C.8 D.10 解析
设出直线AB的方程，用分割法表示出△ABO的面积，将S△ABO＋S
△AFO
表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．
设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， →·→＝2，∴xx＋yy＝2. ∵OAOB1212
2又y21＝x1，y2＝x2，∴y1y2＝－2. 2
??y＝x，联立?得y2－ny－m＝0，
?x＝ny＋m，?
∴y1y2＝－m＝－2，∴m＝2，即点M(2,0)．
11
又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝2|OM||y1|＋2|OM||y2|＝y1－y2， 11
S△AFO＝2|OF|·|y1|＝8y1，
192∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋8y1＝8y1＋y≥2
1
928y1·y1＝3，
4
当且仅当y1＝3时，等号成立．
x2y2
2．设点P是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，其中F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为________．
解析 由已知可得，△PF1F2为直角三角形，且|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又|PF1|－|PF2|＝2a，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝|PF1|2＋|PF2|2，即2|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2，把|PF1|＝2|PF2|代入得，|PF2|＝b，|PF1|＝c2b，代入|PF1|＋|PF2|＝4c得5b＝5c－5a＝4c，∴c＝5a，e＝a＝5.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x22
3．已知动点C是椭圆Ω：a＋y＝1(a>1)上的任意一点，AB是圆931→→G：x＋(y－2)＝4的一条直径(A，B是端点)，CA·CB的最大值是4. 2
2
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