高考专题训练椭、双、抛

c211

∴e1·e2＝＝>3.

25－c225

c2－1

x221

2．若C(－3，0)，D(3，0)，M是椭圆4＋y＝1上的动点，则|MC|1

＋|MD|的最小值为________．

x22

解析 由椭圆4＋y＝1，知c2＝4－1＝3，∴c＝3， ∴C，D是该椭圆的两焦点．

令|MC|＝r1，|MD|＝r2，则r1＋r2＝2a＝4， 1111r1＋r24∴|MC|＋|MD|＝r＋r＝rr＝rr.

121212?r1＋r2?216

又∵r1r2≤4＝4＝4， 114

∴|MC|＋|MD|＝rr≥1.

12

11

当且仅当r1＝r2时，上式等号成立．故|MC|＋|MD|的最小值为1. 3.

x2y2

如图，设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D|F1F2|2

在椭圆上，DF1⊥F1F2，|DF|＝22，△DF1F2的面积为2. 1

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交

点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. |F1F2||F1F2|2

由|DF|＝22，得|DF1|＝＝2c，

221

1222

从而S△DF1F2＝2|DF1||F1F2|＝2c2＝2，故c＝1，从而|DF1|＝2. 932由DF1⊥F1F2得|DF2|＝|DF1|＋|F1F2|＝2，因此|DF2|＝2. 2

2

2

所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22，故a＝2，b2＝a2－c2＝1. x22

因此，所求椭圆的标准方程为2＋y＝1.

x22

(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆2＋y＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.

由圆和椭圆的对称性，易知x2＝－x1，y1＝y2. 由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，

→所以F→1P1＝(x1＋1，y1)，F2P2＝(－x1－1，y1)．

2再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y1＝0.

2

x1由椭圆方程得1－2＝(x1＋1)2，即3x21＋4x1＝0，

4

解得x1＝－3或x1＝0.

当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．

4

当x1＝－3时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，

y1－y0y115

由CP1⊥F1P1，得x·＝－1.而求得y1＝3，故y0＝3.

x1＋11圆C的半径|CP1|＝

?4?2?15?242?－?＋?－?＝

3. ?3??33?

2

5?232?

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x＋?y－3?＝9. ??