【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可得到点A的坐标，进而求得函数解析式，再令y＝0，即可得到点C的坐标，从而可以得到线段AC的长；
（2）根据点A和点B的坐标可以得到直线AB的函数解析式，然后根据二次函数的性质和平行线的性质，可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x+bx+3的图象与y轴交于点B，且OA＝OB， ∴点B的坐标为（0，3）， ∴OB＝OA＝3，
∴点A的坐标为（﹣3，0）， ∴0＝﹣（﹣3）+b×（﹣3）+3， 解得，b＝﹣2，
∴y＝﹣x﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1）， ∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1， ∴点C的坐标为（1，0）， ∴AC＝1﹣（﹣3）＝4， 即线段AC的长是4；
（2）∵点A（﹣3，0），点B（3，0）， ∴直线AB的函数解析式为y＝x+3， 过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，
设点P的坐标为（m，﹣m﹣2m+3），则点D的坐标为（m，m+3）， ∴PD＝﹣m﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m﹣3m， ∵PD∥y轴，∠ABO＝45°， ∴∠PDQ＝∠ABO＝45°， 又∵PQ⊥AB，PQ＝
，
2
2
2
2
2
2
∴△PDQ是等腰直角三角形，
第25页（共28页）
∴PD＝＝2，
∴﹣m﹣3m＝2，
解得，m1＝﹣1，m2＝﹣2， 当m＝﹣1时，﹣m﹣2m+3＝4， 当m＝﹣2时，﹣m﹣2m+3＝3， ∴点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
22
2
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
28．（12分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，动点P以2cm/s的速度在△ABC的边上沿A→B的方向匀速运动，动点Q在△ABC的边上沿C→A的方向匀速运动，P、Q两点同时出发，5s后，点P到达终点B，点Q立即停止运动（此时点Q尚未到达点A）．设点P运动的时间为t（s），△APQ的面积为S（cm），S与t的函数图象如图②所示．
2
（1）图①中AC＝ 8 cm，点Q运动的速度为 1 cm/s； （2）求函数S的最大值；
（3）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？请说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理得到AC＝角形的面积公式列方程即可得到结论；
第26页（共28页）
＝8，设点Q运动的速度为v，根据三
（2）过点P作PH⊥AQ于H，则PH∥BC，由题意得，AP＝2t，CQ＝8﹣t，根据三角形的面积公式得到二次函数解析式S＝×t×（8﹣t）＝﹣t+即可得到结论；
（3）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝5×2＝10cm， 在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm， ∴AC＝
＝8，
2
t＝﹣（t﹣4）+
2
；
设点Q运动的速度为v， ∵5s后，S＝9， ∴（8﹣5v）×6＝9， ∴v＝1，
∴点Q运动的速度为1cm/s， 故答案为：8，1；
（2）过点P作PH⊥AQ于H，则PH∥BC， 由题意得，AP＝2t，CQ＝8﹣t， ∴PH＝t，
∴S＝×t×（8﹣t）＝﹣t+当t＝4s时，S有最大值＝（3）①∵∠A为公共角，
∴当AP：AB＝AQ：AC时，△APQ∽△ABC， ∴
＝
， s，
22
t＝﹣（t﹣4）+
2
；
（cm）；
解得：t＝
②∵∠A为公共角，
∴当AP：AC＝AQ：AB时，△APQ∽△ACB， ∴
＝
， s，
第27页（共28页）
解得：t＝
综上所述，当t为或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．
第28页（共28页）
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