2009届高考数学快速提升成绩题型训练——恒成立问题
1. （1）若关于x的不等式x2?ax?a?0的解集为(??,??)，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式x2?ax?a??3的解集不是空集，求实数a的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 三个同学对问题“关于x的不等式x2?25?x3?5x2?ax在?1,12?上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a的取值范围.
3. 已知向量a?(x2,x?1),b?(1?x,t),若函数f?x??a?b在区间??1,1?上是增函数，求t的取值范围.
'4. 已知函数f?x??x3?3ax?1,g?x??f??x??ax?5，其中f?x?是f?x?的导函数.
????（1）对满足?1?a?1的一切a的值，都有g?x??0，求实数x的取值范围； （2）设a??m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y?f?x?的图象与直线y?3只有一个公共点.
5. 求与抛物线E:y?ax2相切于坐标原点的最大圆C的方程.
6. 设a?R，二次函数f(x)?ax2?2x?2a.若f(x)?0的解集为A，
B??x|1?x?3?,A?B??，求实数a的取值范围.
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7. 已知函数f?x??lnx，g?x??12ax2?bx，a?0.
若b?2，且h?x??f?x??g?x?存在单调递减区间，求a的取值范围；
8. 设x?3是函数f(x)?(x2?ax?b)e3?x(x?R)的一个极值点. （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间； （Ⅱ）设a?0，g(x)?(a2?a的取值范围.
254)ex,若存在?1,?2?[0,4]使得f(?1)?g(?2)?1成立，求
9. 已知函数f(x)?4x?72?x2,x?[0,1].
（1）求f(x)的单调区间和值域；
（2）设a?1，函数g?x??x3?3a2x?2a,x??0,1?,若对于任意x1??0,1?x0??0,1?使得g(x0)?f(x1)成立，求
,总存在
a的取值范围.
10. 求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意???0,?，恒有：
?2?????x?3?2sin?
cos??2??x?asin??acos??2?18。
11. 已知x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点，其中（I）求mm,n?R,m?0。
与n的关系式；（II）求f(x)的单调区间；（III）当x???1,1?时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
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12. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且 其中(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B,n?1,2,3,?，（Ⅰ）求A与B的值；
（Ⅱ）证明数列{an}为等差数列；
（Ⅲ）证明不等式5amn?aman?1对任何正整数m、n都成立.
13. 对于满足|a|?2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。
14. 已知函数f(x)是定义在??1,1?上的奇函数，且f(1)?1，若a,b???1,1?，
a?b?0A,B为常数.
，有
2f(a)?a?bf(b)?0，（1）证明f(x)在??1,1?上的单调性；（2）若
的取值范围。
a???1,1?恒成立，求mf(x)?m?2am?对所有1
15. 若函数y?mx2?6mx?m?8在R上恒成立，求m的取值范围。
16. 已知函数f(x)?x2?ax?3?a，⑴在R上f(x)?0恒成立，求a的取值范围。
⑵若x???2,2?时，f(x)?0恒成立，求a的取值范围。
⑶若x???2,2?时，f(x)?2恒成立，求a的取值范围。
⒘ 若对任意的实数x，sin2x?2kcosx?2k?2?0恒成立，求k的取值范围。 分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。
⒙已知函数f(x)?lg(ax?bx)，常数a?1?b?0，求（1）函数y?f(x)的定义域；
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（2）当a、b满足什么条件时f(x)在区间?1,???上恒取正。
答案：
1.（1）设f?x??x2?ax?a.则关于x的不等式x2?ax?a?0的解集为
(??,??)?f?x??0在???,???上恒成立?fmin?x??0,
即fmin?x???4a?a42?0,解得?4?a?0
（2）设f?x??x2?ax?a.则关于x的不等式x2?ax?a??3的解集不是空集
?f?x???3在???,???上能成立?fmin?x???3,
即fmin?x???4a?a42??3,解得a??6或a?2.
2. 关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.
设f?x??x2?25?x3?5x2,g?x??ax.
甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，
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